论文部分内容阅读
“有效的数学课堂”是我们教师教学工作中永恒的追求.如何在新课标理念的指导下，着力提高数学课堂教学的有效性，是目前新课改的目标之一.数学教学的本质是对学生进行数学思维的培养，使学生学会“数学地”思维.而问题解决是数学课堂的核心，新课程下的数学课堂教学需要基于的“问题情境”.数学问题作为培养数学思维的有效载体，发挥着重要的作用.新课程理念更加强调数学问题中思维的有效性，本文结合教学实践尝试在这方面谈几点粗浅认识.
一、基于传统数学教学与新课程理念下的对数学思维培养的认识比较
无论是在传统教学还是在新课程改革的情况下，数学思维力始终是数学教育中最传统、最重要的特征.我们所关注的是传统数学教学主要倾向于训练学生逻辑思维能力，包括抽象、概括、演绎、推理等.而新课程数学课堂上培养学生的思维能力，一方面要继续传承过去优良做法，此外还应不断拓展思维训练内容，包括参与思维活动的其他成分，如观察、分析、比较、猜测和直觉等.在课堂教学中教师精心设计数学问题使学生个体思维活动外显化，引导他们积极参与各种思维活动，大胆暴露自己的思维过程，敢于面对错误思维，善于纠错，乐于和他人交流思维成果.他们在数学活动过程中锻炼了思维能力，形成了良好的思维品质、思维习惯.
二、新理念下的数学问题之于数学思维的重要性认识
问题是数学的心脏，数学问题是培养数学思维的有效载体.
新课程教学更加重视数学知识的形成、发现过程.根据学生年龄特征和本着学生可接受的原则，新教材的编排不可能十分系统完整，在教材中许多概念的形成，公式、定理等的发现过程往往没有详细完整给出，只有完整的结论，这就要求教师在课前深研教材、精心设计、重组教学内容，让启发式教学进入数学教学活动，自觉渗透数学思想方法，克服学生的思维惰性，较多展示知识的发生发展过程，充分暴露知识背景，精心为学生设计问题情境，教给学生发现、创造的方法，启发引导他们去思考、创造，让他们在问题中学习，在问题发现中获取，在解题成功中体验.具体地说，可利用概念、公式、定理的教学，培养学生思维的概括性和创造性；利用知识应用的教学，培养学生思维连续性和广阔性；利用典型问题的多解和多变，培养思维的敏捷性和深刻性；利用学习中解题经验的积累和问题的反思，培养学生思维的方向性和批判性.这些都明示了数学问题是培养数学思维的有效载体.
三、问题设计更关注有效性
1.如何理解“生活中的数学”这一理念
不少教师认为情境就是要把数学问题生活化在教学中，很多公开课上教师都很注重设计出丰富的问题情境，大多以来源于生活的实例作为问题情境，但其中有些问题却有些形式化，缺乏有效性，在很大程度上干扰了对主要内容的探究，偏离主题.设计数学问题的目的是为学生学习架设“脚手架”，帮助学生进行有意义的建构，最终应该是促进教学目标更有效的达成，提高教学效率.把情境设计等同于情境的生活化，过分追求数学与生活的联系，会淡化数学.让情境生活化的思想框住自己的手脚，大量设计生活化的情境，游离于数学思维之外，与有效教学的理念相背.
2.如何恰当利用信息技术设计问题
随着信息技术的快速发展，学校硬件设施的不断改善，信息技术正在数学课堂教学中越来越多地发挥重要作用，其强大的动画、色彩、绘图等功能在创设情境中更受到教师的青睐.利用信息技术的目的是降低学生理解问题的难度，化抽象为直观，以促进学生对数学知识的理解和掌握.有些课堂往往只关注情境的生动性，多媒体呈现的“异彩纷呈”，却忽略了对学生思维的渗透，使得问题与思维缺乏适度整合.
四、借助数学问题形成数学有效思维的策略
1.问题设计利于认知数学概念，形成直观思维
数学概念的学习对于直观思维的培养有着重要的促进作用.如在绝对值教学中，对
|a|=a（a>0），
0（a=0），
-a（a<0）的得出程序是：先由具体数字绝对值开始，让学生具体形象地感知，如计算| 8|=？|0|=？|-5|=？等例子，总结出语言文字规律：“正数的绝对值是正数，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数.”接着引导学生分析关键点：绝对值符号里面的数是什么数？如果是字母，字母表示什么数？这样，便可以抽象概括出上述符号表达式.接着进行对比具体计算化简.例如计算：|-3| | 5|= 8 ； |-3|-|-2|= 1 ；-1[]2×1[]3= 1[]6 ；|-4|÷|-2|= 2 .对比上题，化简下式：若1 2.问题设计利于数学应用，学会思维
《标准》指出，使学生在现实生活中学习数学、发展数学是当前我国教育改革的基本思路之一.现实的生活材料，能激发学生研究问题的兴趣，产生亲切感，认识现实生活中隐藏丰富的数学问题，有利于学生更多地关注社会，对生活现象提出数学问题，成为有数学头脑的人，学会了思维.有这样一道有关增长率的问题：
问题描述：近几年，我国大部分地区出现了浮尘扬沙和暴风天气，有关专家指出，这是由于乱伐树木，使生态环境遭到严重破坏所致.因此，保护森林资源已成为目前一项十分紧迫的任务.某地区原有森林面积50万公顷，因人为毁林，到1999年底森林面积已减少了10%，为此，当地政府决定从2000年开始大力开展植树造林，计划在2001年底使森林面积增加到64.8万公顷.（1）求该地区1999 年底森林面积为多少万公顷？（2）求该地区1999年到2001年造林面积平均增长率是多少？学生通过对这样的应用题的解决，不仅获得了知识和方法，更能引导学生关注社会生活，提高学生的思维素质.
3.问题设计利于开展数学探究活动，激发思维 数学探究活动是数学学习的灵魂，在问题的探索过程中，需要学生心智、操作、情感等多方面技能的支持以及多感官的参与.学生正是在探究实践中激发了思维.
问题描述：在七年级数学实验教材（江苏科学技术出版社）第七章平面的认识（二）的学习中，我们知道一个多边形每减少一条边，其内角和就减少180°.由此联想到，如果把一个多边形剪去（减少）一个角，那么它的内角和有什么变化呢？
在问题的讨论中，开始许多同学由图1得出结论：剪去一个角，边数减少1，因此内角和减少180°.也有部分同学认为这个结论不够全面，于是大家便拿出剪刀以六边形为例进行剪拼，经过反复操作、实验与比较，发现有三种情况：
第一种情况：如图1，沿相邻两边端点的对角线剪下，这时边数减少1，内角和减少（n-2）180°-（n-3）180°=180°.
第二种情况：如图2，沿一个顶点和邻边上任一点（不是顶点）剪下，这时多边形形状虽然发生了变化，但边数不变，内角和不变.
第三种情况：如图3，沿相邻两边上的两点（不是顶点）剪下，这时多边形的边数增加1，内角和增加了（n-1）180°-（n-2）180°=180°.
以上三种情况是不是对任何多边形都成立呢？同学们继续探究发现，三角形具有特殊性——它只有两种情况（图4和图5）即内角和不变（如图4）或内角和为360°——增加180°（如图5）.
综上，对于任意n多边形，当n>3时因为剪去一个内角有3种不同的方式，所以有3种相应的结果.
4.问题设计利于渗透数学思想方法，培养问题意识
问题意识是指问题成为学生感知和思维的对象，从而在学生心里造成一种悬而未决但又必须解决的求知状态.而培养问题意识的一个重要方法就是设计渗透数学思想方法的问题.
问题描述：在九年级“数学专题复习课之思想方法的复习”中使用了下题：
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，O是BA上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=l，设P是线段BA上的动点（P与A、B不重合），BP=x﹒
（1）求BE的长；
（2）求x为何值时，以P，A，D为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）在点P运动的过程中，PD与△PBC的外接圆能否相切？若能，请证明；若不能，请说明理由.
（4）请再提出一个与动点P有关的数学问题，并直接写出答案.
本题是开放题，特别是第（4）小题，学生思路广阔，其中一种较为典型的回答是：提出的问题为当x为何值时，以P，D，A为顶点的三角形与△ABC相似？给出的答案为x=32.这种回答得到了很多同学的认可.但很快就有学生产生了质疑：老师，当x为何值时，PD⊥AC？那么回答就不用讨论了吧？……
显然，学生在这个数学空间里生成了问题，自觉形成了问题意识，积极主动地投入到问题探究中.教师注意等待，留给学生充分的思考、探究的时间，允许学生进行错误尝试，再做出适当地反馈，对有问题意识的学生进行肯定和鼓励，以此强化学生的问题意识.在此过程中学生的数学思维得到了有效的优化.
经常性地进行教学有效性反思.首先要转变观念，掌握恰当的教学策略和技巧；其次，应结合学生的思维“最近发展区”有效设计出分层问题，让“人人学到有用的数学”，得到适度的发展.在具体的教学活动中，要结合实际情况在课堂上展示合理的数学问题，以形成有效的数学思维，学生在思维中不断丰富完善优化问题，积累数学素材.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]顾继玲，张新华.初中数学探究活动设计的思考[J].数学教育学报，2012（3）：63-66.
[3]奚定华.数学教学设计[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
[4]罗增儒.数学概念的教学认识[J].中学数学教学参考：中旬，2016（3）：2-4.
一、基于传统数学教学与新课程理念下的对数学思维培养的认识比较
无论是在传统教学还是在新课程改革的情况下，数学思维力始终是数学教育中最传统、最重要的特征.我们所关注的是传统数学教学主要倾向于训练学生逻辑思维能力，包括抽象、概括、演绎、推理等.而新课程数学课堂上培养学生的思维能力，一方面要继续传承过去优良做法，此外还应不断拓展思维训练内容，包括参与思维活动的其他成分，如观察、分析、比较、猜测和直觉等.在课堂教学中教师精心设计数学问题使学生个体思维活动外显化，引导他们积极参与各种思维活动，大胆暴露自己的思维过程，敢于面对错误思维，善于纠错，乐于和他人交流思维成果.他们在数学活动过程中锻炼了思维能力，形成了良好的思维品质、思维习惯.
二、新理念下的数学问题之于数学思维的重要性认识
问题是数学的心脏，数学问题是培养数学思维的有效载体.
新课程教学更加重视数学知识的形成、发现过程.根据学生年龄特征和本着学生可接受的原则，新教材的编排不可能十分系统完整，在教材中许多概念的形成，公式、定理等的发现过程往往没有详细完整给出，只有完整的结论，这就要求教师在课前深研教材、精心设计、重组教学内容，让启发式教学进入数学教学活动，自觉渗透数学思想方法，克服学生的思维惰性，较多展示知识的发生发展过程，充分暴露知识背景，精心为学生设计问题情境，教给学生发现、创造的方法，启发引导他们去思考、创造，让他们在问题中学习，在问题发现中获取，在解题成功中体验.具体地说，可利用概念、公式、定理的教学，培养学生思维的概括性和创造性；利用知识应用的教学，培养学生思维连续性和广阔性；利用典型问题的多解和多变，培养思维的敏捷性和深刻性；利用学习中解题经验的积累和问题的反思，培养学生思维的方向性和批判性.这些都明示了数学问题是培养数学思维的有效载体.
三、问题设计更关注有效性
1.如何理解“生活中的数学”这一理念
不少教师认为情境就是要把数学问题生活化在教学中，很多公开课上教师都很注重设计出丰富的问题情境，大多以来源于生活的实例作为问题情境，但其中有些问题却有些形式化，缺乏有效性，在很大程度上干扰了对主要内容的探究，偏离主题.设计数学问题的目的是为学生学习架设“脚手架”，帮助学生进行有意义的建构，最终应该是促进教学目标更有效的达成，提高教学效率.把情境设计等同于情境的生活化，过分追求数学与生活的联系，会淡化数学.让情境生活化的思想框住自己的手脚，大量设计生活化的情境，游离于数学思维之外，与有效教学的理念相背.
2.如何恰当利用信息技术设计问题
随着信息技术的快速发展，学校硬件设施的不断改善，信息技术正在数学课堂教学中越来越多地发挥重要作用，其强大的动画、色彩、绘图等功能在创设情境中更受到教师的青睐.利用信息技术的目的是降低学生理解问题的难度，化抽象为直观，以促进学生对数学知识的理解和掌握.有些课堂往往只关注情境的生动性，多媒体呈现的“异彩纷呈”，却忽略了对学生思维的渗透，使得问题与思维缺乏适度整合.
四、借助数学问题形成数学有效思维的策略
1.问题设计利于认知数学概念，形成直观思维
数学概念的学习对于直观思维的培养有着重要的促进作用.如在绝对值教学中，对
|a|=a（a>0），
0（a=0），
-a（a<0）的得出程序是：先由具体数字绝对值开始，让学生具体形象地感知，如计算| 8|=？|0|=？|-5|=？等例子，总结出语言文字规律：“正数的绝对值是正数，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数.”接着引导学生分析关键点：绝对值符号里面的数是什么数？如果是字母，字母表示什么数？这样，便可以抽象概括出上述符号表达式.接着进行对比具体计算化简.例如计算：|-3| | 5|= 8 ； |-3|-|-2|= 1 ；-1[]2×1[]3= 1[]6 ；|-4|÷|-2|= 2 .对比上题，化简下式：若1
《标准》指出，使学生在现实生活中学习数学、发展数学是当前我国教育改革的基本思路之一.现实的生活材料，能激发学生研究问题的兴趣，产生亲切感，认识现实生活中隐藏丰富的数学问题，有利于学生更多地关注社会，对生活现象提出数学问题，成为有数学头脑的人，学会了思维.有这样一道有关增长率的问题：
问题描述：近几年，我国大部分地区出现了浮尘扬沙和暴风天气，有关专家指出，这是由于乱伐树木，使生态环境遭到严重破坏所致.因此，保护森林资源已成为目前一项十分紧迫的任务.某地区原有森林面积50万公顷，因人为毁林，到1999年底森林面积已减少了10%，为此，当地政府决定从2000年开始大力开展植树造林，计划在2001年底使森林面积增加到64.8万公顷.（1）求该地区1999 年底森林面积为多少万公顷？（2）求该地区1999年到2001年造林面积平均增长率是多少？学生通过对这样的应用题的解决，不仅获得了知识和方法，更能引导学生关注社会生活，提高学生的思维素质.
3.问题设计利于开展数学探究活动，激发思维 数学探究活动是数学学习的灵魂，在问题的探索过程中，需要学生心智、操作、情感等多方面技能的支持以及多感官的参与.学生正是在探究实践中激发了思维.
问题描述：在七年级数学实验教材（江苏科学技术出版社）第七章平面的认识（二）的学习中，我们知道一个多边形每减少一条边，其内角和就减少180°.由此联想到，如果把一个多边形剪去（减少）一个角，那么它的内角和有什么变化呢？
在问题的讨论中，开始许多同学由图1得出结论：剪去一个角，边数减少1，因此内角和减少180°.也有部分同学认为这个结论不够全面，于是大家便拿出剪刀以六边形为例进行剪拼，经过反复操作、实验与比较，发现有三种情况：
第一种情况：如图1，沿相邻两边端点的对角线剪下，这时边数减少1，内角和减少（n-2）180°-（n-3）180°=180°.
第二种情况：如图2，沿一个顶点和邻边上任一点（不是顶点）剪下，这时多边形形状虽然发生了变化，但边数不变，内角和不变.
第三种情况：如图3，沿相邻两边上的两点（不是顶点）剪下，这时多边形的边数增加1，内角和增加了（n-1）180°-（n-2）180°=180°.
以上三种情况是不是对任何多边形都成立呢？同学们继续探究发现，三角形具有特殊性——它只有两种情况（图4和图5）即内角和不变（如图4）或内角和为360°——增加180°（如图5）.
综上，对于任意n多边形，当n>3时因为剪去一个内角有3种不同的方式，所以有3种相应的结果.
4.问题设计利于渗透数学思想方法，培养问题意识
问题意识是指问题成为学生感知和思维的对象，从而在学生心里造成一种悬而未决但又必须解决的求知状态.而培养问题意识的一个重要方法就是设计渗透数学思想方法的问题.
问题描述：在九年级“数学专题复习课之思想方法的复习”中使用了下题：
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，O是BA上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=l，设P是线段BA上的动点（P与A、B不重合），BP=x﹒
（1）求BE的长；
（2）求x为何值时，以P，A，D为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）在点P运动的过程中，PD与△PBC的外接圆能否相切？若能，请证明；若不能，请说明理由.
（4）请再提出一个与动点P有关的数学问题，并直接写出答案.
本题是开放题，特别是第（4）小题，学生思路广阔，其中一种较为典型的回答是：提出的问题为当x为何值时，以P，D，A为顶点的三角形与△ABC相似？给出的答案为x=32.这种回答得到了很多同学的认可.但很快就有学生产生了质疑：老师，当x为何值时，PD⊥AC？那么回答就不用讨论了吧？……
显然，学生在这个数学空间里生成了问题，自觉形成了问题意识，积极主动地投入到问题探究中.教师注意等待，留给学生充分的思考、探究的时间，允许学生进行错误尝试，再做出适当地反馈，对有问题意识的学生进行肯定和鼓励，以此强化学生的问题意识.在此过程中学生的数学思维得到了有效的优化.
经常性地进行教学有效性反思.首先要转变观念，掌握恰当的教学策略和技巧；其次，应结合学生的思维“最近发展区”有效设计出分层问题，让“人人学到有用的数学”，得到适度的发展.在具体的教学活动中，要结合实际情况在课堂上展示合理的数学问题，以形成有效的数学思维，学生在思维中不断丰富完善优化问题，积累数学素材.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]顾继玲，张新华.初中数学探究活动设计的思考[J].数学教育学报，2012（3）：63-66.
[3]奚定华.数学教学设计[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
[4]罗增儒.数学概念的教学认识[J].中学数学教学参考：中旬，2016（3）：2-4.