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【摘要】本文主要借助于矩阵分析中矩阵序列连续性的概念,得到了连续性推证的思想,并利用这一思想,解决了一些矩阵问题中当所涉及元素为零元素或矩阵为非奇异矩阵时的相关命题.
【关键词】矩阵；连续性推证；惯性
【基金项目】河南省自然科学基金（072300440190）
一、预备知识
在文献［1,2］中，都提到了如下定义和结论：
定义1 已知F为任意数域，对于矩阵序列A(k)=(a(k)ij)∈Mm,n(F),k=1,2,…，如果limk→∞a(k)ij=aij，i=1,2,…，m；j=1,2,…,n，则称矩阵序列{A(k)}收敛于A=(aij)∈Mm,n(F)，或它有极限A，记作：A(k)→A(k→∞)或者limk→∞A(k)=A.
定理2 A(k)→A(k→∞)的充要条件是对于任意广义矩阵范数‖•‖,都有‖A(k)-A‖→0，(k→∞).
利用该定理和文献［1］中P55引理2,我们可以得到许多很有意义的推论.
二、主要结果及应用
定理3 如果对于矩阵A=(aij)∈Mn,n(F)，B=(bij)∈Mn,n(F),令A(k)=A+εkB,这里ε为任意充分小量,limε→∞εk=0，则我们仍然有limk→∞a(k)ij=aij，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n成立,此时对于矩阵范数‖•‖,‖A(k)‖→‖A‖(k→∞).特别地,用ε替换εk时,可以得到：
定理4 如果对于矩阵A=(aij)∈Mn,n(F),B=(bij)∈Mn,n(F),令A(ε)=A+εB,这里ε为任意无穷小量,则A(ε)→A(k→∞),且有|A(ε)|→|A|(ε→0).
我们称定理4的思想为连续性推证(在有的文献中也称为摄动法),运用该方法,在高等代数或线性代数特别是矩阵理论中的行列式计算和矩阵问题分析方面，对于一些用代数办法不易求解或者求解过程相当繁琐的问题,可以极为巧妙的解决.
命题1 设A,B,C,D都是n阶矩阵,当AC=CA时,证明:ABCD=|AD-CB|.
说明 对于该问题,一般情况下题目都要求|A|≠0，此时该问题容易求解,下边我们给出当矩阵A不可逆时该结论仍然成立的证明.
证明 如果A为可逆矩阵时，结论很容易给出证明.
当|A|≠0时，因为En0-CA-1EnABCD=AB0D-CA-1B，所以ABCD=AB0D-CA-1B=|A||D-CA-1B|=|A(D-CA-1B)|=|AD-ACA-1B|=|AD-CB|,结论成立.
当|A|=0时,令A(ε)=A+εE,这里E为n阶单位矩阵,ε为充分小量,注意到矩阵A有有限个特征值，于是有无穷多个充分小的ε使|A(ε)|≠0,且A(ε)依然和C可交换,于是有A(ε)BCD=|A(ε)||D-CA(ε)-1B|=|A(ε)D-CB|.
由定理4,当ε→0时,对上式两端同时取极限后,结论成立.
注 本题中,若题设条件改为AB=BA,可以类似的证明ABCD=|DA-CB|.
命题2 设A，B∈Mn,n(F),(n≥2)，证明:(AB)*=B*A*,这里A*表示A的伴随矩阵,即A*A=AA*=|A|E.
证明 （1）当A,B均可逆时，由(AB)*(AB)=|AB|E，得(AB)*=|AB|(AB)-1=|B|B-1×|A|A-1=B*A*.
（2）若A,B中至少有一个不可逆，令A(ε)=A+εE,B(ε)=B+εE，注意到矩阵A，B有有限个特征值，于是有无穷多个充分小的ε使|A(ε)|≠0，|B(ε)|≠0.
于是由（1），可得(A(ε)B(ε))*=B(ε)*A(ε)*.①
令(A(ε)B(ε))*=(fij(ε))n×n，B(ε)*A(ε)*=(gij(ε))n×n，由上式得
fij(ε)=gij(ε)(i,j=1,2,…,n).②
由于有无穷多个ε使①式成立，故有无穷多个ε使上式成立.但fij(ε),gij(ε)都是ε的多项式，从而②式对一切ε都成立.
特别的,令ε=0，这时有(AB)*=(A(0)B(0))*=B(0)*A(0)*=B*A*,结论成立.
命题3 若n阶Hermite矩阵A,B满足B=S*AS和rank(A)=rank(B)，这里S∈Cn×n，则矩阵A,B具有相同的惯性:In(A)=In(B).
证明 如果S∈Cn×n可逆，则按Sylvester惯性律,定理的结论In(A)=In(B)成立.
如果S∈Cn×n不可逆,则取充分小的正数ε,使得S(ε)=S+εIn非奇异,令B(ε)=S(ε)*AS(ε),按Sylvester惯性律,In(A)=In(B)对充分小的正数ε成立.令ε→0+，B(ε)的一部分正的(或者负的)特征值可能变为0,但是不会变为负的(或者正的)B的特征值,因而In(B)≤In(A),再从rank(A)=rank(B)看出,一定有In(B)=In(A).
【参考文献】
［1］陈公宁.矩阵理论与应用(第二版)［M］.北京:科学出版社,2007.
［2］程云鹏.矩阵论［M］.西安:西北工业大学出版社,1999.
［3］CHO Minhyung,LIU Jinxia.The Sequential Continuity of Multiplication on a Class of Infinite Matrix Algebras［J］. CHINESE QUARTERLY JOURNAL OF MATHEMATICS，2002,17(2):49-52.
［4］孟道骥，王立云.线性代数中的摄动法［J］.高等数学研究.2007,10(4):32-34.
【关键词】矩阵；连续性推证；惯性
【基金项目】河南省自然科学基金（072300440190）
一、预备知识
在文献［1,2］中，都提到了如下定义和结论：
定义1 已知F为任意数域，对于矩阵序列A(k)=(a(k)ij)∈Mm,n(F),k=1,2,…，如果limk→∞a(k)ij=aij，i=1,2,…，m；j=1,2,…,n，则称矩阵序列{A(k)}收敛于A=(aij)∈Mm,n(F)，或它有极限A，记作：A(k)→A(k→∞)或者limk→∞A(k)=A.
定理2 A(k)→A(k→∞)的充要条件是对于任意广义矩阵范数‖•‖,都有‖A(k)-A‖→0，(k→∞).
利用该定理和文献［1］中P55引理2,我们可以得到许多很有意义的推论.
二、主要结果及应用
定理3 如果对于矩阵A=(aij)∈Mn,n(F)，B=(bij)∈Mn,n(F),令A(k)=A+εkB,这里ε为任意充分小量,limε→∞εk=0，则我们仍然有limk→∞a(k)ij=aij，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n成立,此时对于矩阵范数‖•‖,‖A(k)‖→‖A‖(k→∞).特别地,用ε替换εk时,可以得到：
定理4 如果对于矩阵A=(aij)∈Mn,n(F),B=(bij)∈Mn,n(F),令A(ε)=A+εB,这里ε为任意无穷小量,则A(ε)→A(k→∞),且有|A(ε)|→|A|(ε→0).
我们称定理4的思想为连续性推证(在有的文献中也称为摄动法),运用该方法,在高等代数或线性代数特别是矩阵理论中的行列式计算和矩阵问题分析方面，对于一些用代数办法不易求解或者求解过程相当繁琐的问题,可以极为巧妙的解决.
命题1 设A,B,C,D都是n阶矩阵,当AC=CA时,证明:ABCD=|AD-CB|.
说明 对于该问题,一般情况下题目都要求|A|≠0，此时该问题容易求解,下边我们给出当矩阵A不可逆时该结论仍然成立的证明.
证明 如果A为可逆矩阵时，结论很容易给出证明.
当|A|≠0时，因为En0-CA-1EnABCD=AB0D-CA-1B，所以ABCD=AB0D-CA-1B=|A||D-CA-1B|=|A(D-CA-1B)|=|AD-ACA-1B|=|AD-CB|,结论成立.
当|A|=0时,令A(ε)=A+εE,这里E为n阶单位矩阵,ε为充分小量,注意到矩阵A有有限个特征值，于是有无穷多个充分小的ε使|A(ε)|≠0,且A(ε)依然和C可交换,于是有A(ε)BCD=|A(ε)||D-CA(ε)-1B|=|A(ε)D-CB|.
由定理4,当ε→0时,对上式两端同时取极限后,结论成立.
注 本题中,若题设条件改为AB=BA,可以类似的证明ABCD=|DA-CB|.
命题2 设A，B∈Mn,n(F),(n≥2)，证明:(AB)*=B*A*,这里A*表示A的伴随矩阵,即A*A=AA*=|A|E.
证明 （1）当A,B均可逆时，由(AB)*(AB)=|AB|E，得(AB)*=|AB|(AB)-1=|B|B-1×|A|A-1=B*A*.
（2）若A,B中至少有一个不可逆，令A(ε)=A+εE,B(ε)=B+εE，注意到矩阵A，B有有限个特征值，于是有无穷多个充分小的ε使|A(ε)|≠0，|B(ε)|≠0.
于是由（1），可得(A(ε)B(ε))*=B(ε)*A(ε)*.①
令(A(ε)B(ε))*=(fij(ε))n×n，B(ε)*A(ε)*=(gij(ε))n×n，由上式得
fij(ε)=gij(ε)(i,j=1,2,…,n).②
由于有无穷多个ε使①式成立，故有无穷多个ε使上式成立.但fij(ε),gij(ε)都是ε的多项式，从而②式对一切ε都成立.
特别的,令ε=0，这时有(AB)*=(A(0)B(0))*=B(0)*A(0)*=B*A*,结论成立.
命题3 若n阶Hermite矩阵A,B满足B=S*AS和rank(A)=rank(B)，这里S∈Cn×n，则矩阵A,B具有相同的惯性:In(A)=In(B).
证明 如果S∈Cn×n可逆，则按Sylvester惯性律,定理的结论In(A)=In(B)成立.
如果S∈Cn×n不可逆,则取充分小的正数ε,使得S(ε)=S+εIn非奇异,令B(ε)=S(ε)*AS(ε),按Sylvester惯性律,In(A)=In(B)对充分小的正数ε成立.令ε→0+，B(ε)的一部分正的(或者负的)特征值可能变为0,但是不会变为负的(或者正的)B的特征值,因而In(B)≤In(A),再从rank(A)=rank(B)看出,一定有In(B)=In(A).
【参考文献】
［1］陈公宁.矩阵理论与应用(第二版)［M］.北京:科学出版社,2007.
［2］程云鹏.矩阵论［M］.西安:西北工业大学出版社,1999.
［3］CHO Minhyung,LIU Jinxia.The Sequential Continuity of Multiplication on a Class of Infinite Matrix Algebras［J］. CHINESE QUARTERLY JOURNAL OF MATHEMATICS，2002,17(2):49-52.
［4］孟道骥，王立云.线性代数中的摄动法［J］.高等数学研究.2007,10(4):32-34.