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摘要： 光梯度力在光镊技术中起着非常重要的作用。数值模拟了螺旋相位调制双曲余弦高斯光束在焦平面上光梯度力的变化。研究结果表明：双曲余弦高斯光束的偏心参数、螺旋相位的拓扑数可以显著地调节光梯度力分布，并且会出现一些新奇的光梯度力分布，如构成圆环形光陷阱、矩形光陷阱、阵列光陷阱等；另外，对于不同数值孔径、不同拓扑数，光梯度力随双曲余弦高斯光束的偏心参数的演化规律也显著不同。
关键词：
双曲余弦高斯光束； 光陷阱； 矢量衍射理论； 光梯度力
中图分类号： Q 631文献标志码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2017.06.008
Abstract：
Optical gradient force plays a very important role in the optical tweezers.The focusing properties of the coshGaussian beam induced by spiral phase plates are investigated numerically.The phase plate may alter the wavefront phase of the coshGaussian beam by topological charge which results in spiral optical vortex.Results show that the topological charge of the spiral phase plate affects focal intensity distribution significantly.Some novel focal patterns appear in focal evolution with different topological charge.And the gradient force distribution can be altered significantly by decentered parameters of coshGaussian beam and topological number of the spiral vortex.Many novel gradient force patterns occur，which means corresponding optical trap including ring optical trap might become rectangle trap pattern，array optical trap，and so on.In addition，as for different numerical aperture and different topological numbers，the evolution law of the optical gradient force is also different from the centrifugal parameter of the coshGaussian beam.
Keywords：
coshGaussian beam； optical vortex； vector diffraction theory； optical gradient force
引言
自從实现了利用光捕获微小颗粒的实验，光镊技术在许多领域得到了应用，特别是在生命科学领域，光镊已经成为灵活、无损伤、非接触式操纵微观粒子的工具[1]。人们为了增加光镊系统的效率和可行性，提出了包括相衬技术[2]、衍射光学元件[3]、光全息[4]、自重构光束[5]和相干图形[6]等方法。通常认为，在光场中的颗粒受到两种力的作用：一种是光梯度力，其强度与光场强度梯度成比例；另一种是光散射力，其强度与光强成比例[7]。光梯度力在构成光镊系统中是十分重要和必要的，本文将研究含有螺旋相位的光束在焦点区域的光梯度力陷阱分布。实际上，奇点光学由于其重要的研究意义和应用前景，近些年来被广泛关注，同时也涌现出了一些产生光旋涡的方法，如计算全息法[8]、模式转换法[9]、螺旋相位片法[10]等。自从Casperson等引入赫米特双曲正弦高斯光束以来[11]，双曲余弦高斯光束作为赫米特双曲正弦高斯光束的一个特例，由于其光强分布可以通过双曲余弦函数参数来灵活调节，引起了广泛的关注。本文采用螺旋相位板在双曲余弦高斯光束中引入螺旋相位光束的方法，研究了包含螺旋相位的双曲余弦高斯光束焦点演化和光梯度力变化。
1系统原理
在我们研究的这个系统中，可以通过改变圆形相位板横截面上的拓扑荷m来改变入射光束的相位。这种圆形螺旋相位板可以通过计算全息和空间光调制器来实现相位的调制，将相位板置于透镜孔径面的前面，然后将带有螺旋相位分布的调制光束通过物镜聚焦，光束的相位分布由相位板调制。假设光学孔径的半径r是a，相位板的传播函数可以写成
光学仪器第39卷
第6期叶有祥，等：螺旋相位调制双曲余弦高斯光束的梯度力研究
ρ（r，φ）=exp（-imφ）r 0其他
（1）
式中φ为涡旋轴的方位角。在z=0处，电场的振幅为
E（x，y，z=0）=A0cosh（Ωxx）cosh（Ωyy）exp-x2+y2ω20
（2）
式中：A0为常量；ω0为入射双曲余弦高斯光束的束腰宽度；cosh为双曲余弦函数。此时（z=0）的径向坐标已经得出，双曲余弦高斯光束可以表示为
E（θ，φ）=A0cosh[NA-1βxsinθcosφ]cosh[NA-1βysinθsinφ]exp-sin2θNA2ω2ρ（r，φ） （3）
式中：NA为聚焦系统的数值孔径；ω=ω0/rp，rp为被调制双曲余弦高斯光束的外半径；βx=rpΩx和βy=rpΩy为双曲余弦高斯光束的偏心参数。设入射高斯光束沿x′轴线偏振，根据矢量衍射理论[12]，聚焦区电场振幅可以表示为
E（ρ，ψ，z）=1λΩE（θ，φ）exp[iφ（θ，φ）]{[cosθ+sin2φ（1-cosθ）]x+cosφsinφ（cosθ-1）y+
cosφsinθz}exp[-ikρsinθcos（φ-ψ）]exp（-ikzcosθ）sinθdθdφ
（4）
式中：变量ρ、ψ和z是聚焦区被观测点的柱面坐标系参数。当φ∈[0，2π）、θ∈[0，arcsin（NA）]时，入射光束被去极化并分别在x、y、z三个方向有三个分量（Ex，Ey，Ez）。聚焦区的光学强度与式（4）的模平方成比例，强度分布可以用数值计算，从而得出螺旋相位调制在焦点区域的强度分布情况。
聚焦激光束作用在介质粒子上的力主要包含两个分量：由电场梯度引起的梯度力分量和由粒子吸收光子所产生的光散射力分量。如果微粒的折射率大于周围介质折射率，则穿过微粒的光略微发生折射，使光传播方向发生一定的改变，从而在光强极大值附近产生一个指向该处的梯度力，这个力非常小，它与激光功率成正比。一般根据所需要镊动的微粒的大小及微粒所能承受的限度来确定所用激光的功率，如用几个毫瓦的激光能够产生几个皮牛顿数量级的力，这已足以操纵小细胞水平的微粒。如果微粒的折射率小于周围介质折射率，从而在光强极小值附近产生一个指向该处的梯度力。光陷阱只能囚禁微小颗粒的位置，如果微粒的折射率大于周围介质折射率，则光陷阱在光强极大值处；如果微粒的折射率小于周围介质折射率，则光陷阱在光强极小值处。本文研究的是微粒的折射率大于周围介质折射率的情况，梯度力Fgrad指向光强极大处。作用于粒子的梯度力可以表示为[7]
Fgrad=n2br3m2s2-1s2+2
SymbolQC@ E（ρ，ψ，z）2
（5）
式中：rm是被捕捉微粒的半径；nb是周围介质的折射率；s是相对折射率（即微粒折射率与周围介质折射率的比）。将式（4）代入式（5）可以得到焦点区域的梯度力分布。
2结果与分析
通过MATLAB数值仿真，研究了螺旋相位调制双曲余弦高斯光束在焦平面上光梯度力的变化情况。图1为数值孔径NA=0.3、拓扑数m=1和不同βx=βy=β情况下的光梯度力分布，图中箭头所指方向为光梯度力方向，坐标单位长度为k-1（k=2π/λ）。通过调节双曲余弦高斯光束的偏心参数，可得到不同的光梯度力分布：当βx=βy=2时，光梯度力分布为圆环结构，两圆环上的梯度力方向相反，形成一个稳定的环形光陷阱，如图1（a）所示；随着β值增加，光梯度力分布发生明显变化，βx=βy=4情况下的光梯度力分布如图1（b）所示，中心存在两个同心分布的菱形光梯度力环，并且在其周围存在较弱的光梯度力环；在βx=βy=8情况下的光梯度力分布如图1（c）所示，中心的两个同心分布的菱形光梯度力环变弱，并且在两个光梯度力环外围存在较多同心菱形光梯度力曲线，在周围存在多个光梯度力菱形环，光梯度力分布变得比图1（b）均匀。由此可见，光梯度力分布随着偏心参数的增加而变化十分显著。
图2为NA=0.3、m=4时不同偏心参数的光梯度力分布图：当βx=βy=2时，存在两个同心光梯度力圆环，构成了一个圆形光陷阱，如图2（a）所示；继续增加β，两个光梯度力圆环发生显著变化，当βx=βy=4时，光梯度力分布呈现矩形，如图2（b）所示；在βx=βy=8情况下光梯度力分布更为复杂，如图2（c）所示。
比较图1和图2可见：高拓扑数可以引起较为复杂的光梯度力分布；不同拓扑数情况下，光梯度力分布随着β的演化规律也不同。
当NA=0.5、m=4时，聚焦区梯度力随双曲余弦高斯光束的不同偏心参数βx=βy=β的变化如图3所示，图中x 和y分别为径向坐标和轴向坐标。当β=5时，光梯度力分布为矩形环，两圆环上的梯度力方向相反，形成一个稳定的矩形光陷阱结构，如图3（a）所示；当偏心参数β由5增大至15时，光轴方向和径向方向的梯度力明显变宽，产生3×3光镊阵列，光梯度力分布阵列如图3（b）所示；将偏心参数β从15增大至25时，轴向和径向方向的梯度力类型都迅速扩大，产生了4×4的阵列，因此光镊阵列可以通过调整参数β来增加，如图3（c）所示；进一步将偏心参数β增大至40时，径向和轴向方向的梯度力漩涡增多，外部梯度力增强且形成一个新的外部陷阱，产生了5×5的阵列，如图3（d）所示。
3结论
通过数值模拟，研究了双曲余弦高斯光束的焦平面上光梯度力可调节特性。研究结果表明：双曲余弦高斯光束的偏心参数、螺旋相位的拓扑数可以显著地调节光梯度力分布，并可以构成相应的光陷阱，例如，圆环形光陷阱、矩形光陷阱、菱形光陷阱等；另外，不同拓扑数下光梯度力随偏心参数的演化规律也显著不同，螺旋相位调制双曲余弦高斯光束所产生的光镊阵列可以操纵复杂结构的微观粒子。
图3当NA=0.5、m=4时，双曲余弦高斯光束的不同偏心参数βx=βy=β对应的聚焦区梯度力变化
Fig.3The gradient force patterns in the focal region under the condition of NA=0.5，m=4，and different βx=βy respectively
參考文献：
[1]DUFRESNE E R，SPALDING G C，DEARING M T，et al.Computergenerated holographic optical tweezer arrays[J].Review of Scientific Instruments，2001，72（3）：18101816. [2]ERIKSEN R L，MOGENSEN P C，GLCKSTAD J.Multiplebeam optical tweezers generated by the generalized phasecontrast method[J].Optics Letters，2002，27（4）：267269.
[3]DUFRESNE E R，GRIER D G.Optical tweezer arrays and optical substrates created with diffractive optics[J].Review of Scientific Instruments，1998，69（5）：19741977.
[4]CURTIS J E，KOSS B A，GRIER D G.Dynamic holographic optical tweezers[J].Optics Communications，2002，207（1/6）：169175.
[5]GARCSCHVEZ V，MCGLOIN D，MELVILLE H，et al.Simultaneous micromanipulation in multiple planes using a selfreconstructing light beam[J].Nature，2002，419（6903）：145147.
[6]PATERSON L，MACDONALD M P，ARLT J，et al.Controlled rotation of optically trapped microscopic particles[J].Science，2001，292（5518）：912914.
[7]ASHKIN A，DZIEDZIC J M，BJORKHOLM J E，et al.Observation of a singlebeam gradient force optical trap for dielectric particles[J].Optics Letters，1986，11（5）：288290.
[8]HECKENBERG N R，MCDUFF R，SMITH C P，et al.Generation of opticalphase singularities by computer generated holograms[J].Optics Letters，1992，17（3）：221223.
[9]BEIJERSBERGEN M W，ALLEN L，VAN DER VEEN H，et al.Astigmatic laser mode converters and transfer of orbital angular momentum[J].Optics Communications，1993，96（1/2/3）：123132.
[10]KOTLYAR V V，ALMAZOV A A，KHONINA S N，et al.Generation of phase singularity through diffracting a plane or Gaussian beam by a spiral phase plate[J].Journal of the Optical Society of America A，2005，22（5）：849861.
[11]CASPERSON L W，TOVAR A A.HermitesinusoidalGaussian beams in complex optical systems[J].Journal of the Optical Society of America A，1998，15（4）：954961.
[12]GU M.Advanced optical imaging theory[M].Berlin Heidelberg：Springer，2000：50100.
（編辑：刘铁英）
关键词：
双曲余弦高斯光束； 光陷阱； 矢量衍射理论； 光梯度力
中图分类号： Q 631文献标志码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2017.06.008
Abstract：
Optical gradient force plays a very important role in the optical tweezers.The focusing properties of the coshGaussian beam induced by spiral phase plates are investigated numerically.The phase plate may alter the wavefront phase of the coshGaussian beam by topological charge which results in spiral optical vortex.Results show that the topological charge of the spiral phase plate affects focal intensity distribution significantly.Some novel focal patterns appear in focal evolution with different topological charge.And the gradient force distribution can be altered significantly by decentered parameters of coshGaussian beam and topological number of the spiral vortex.Many novel gradient force patterns occur，which means corresponding optical trap including ring optical trap might become rectangle trap pattern，array optical trap，and so on.In addition，as for different numerical aperture and different topological numbers，the evolution law of the optical gradient force is also different from the centrifugal parameter of the coshGaussian beam.
Keywords：
coshGaussian beam； optical vortex； vector diffraction theory； optical gradient force
引言
自從实现了利用光捕获微小颗粒的实验，光镊技术在许多领域得到了应用，特别是在生命科学领域，光镊已经成为灵活、无损伤、非接触式操纵微观粒子的工具[1]。人们为了增加光镊系统的效率和可行性，提出了包括相衬技术[2]、衍射光学元件[3]、光全息[4]、自重构光束[5]和相干图形[6]等方法。通常认为，在光场中的颗粒受到两种力的作用：一种是光梯度力，其强度与光场强度梯度成比例；另一种是光散射力，其强度与光强成比例[7]。光梯度力在构成光镊系统中是十分重要和必要的，本文将研究含有螺旋相位的光束在焦点区域的光梯度力陷阱分布。实际上，奇点光学由于其重要的研究意义和应用前景，近些年来被广泛关注，同时也涌现出了一些产生光旋涡的方法，如计算全息法[8]、模式转换法[9]、螺旋相位片法[10]等。自从Casperson等引入赫米特双曲正弦高斯光束以来[11]，双曲余弦高斯光束作为赫米特双曲正弦高斯光束的一个特例，由于其光强分布可以通过双曲余弦函数参数来灵活调节，引起了广泛的关注。本文采用螺旋相位板在双曲余弦高斯光束中引入螺旋相位光束的方法，研究了包含螺旋相位的双曲余弦高斯光束焦点演化和光梯度力变化。
1系统原理
在我们研究的这个系统中，可以通过改变圆形相位板横截面上的拓扑荷m来改变入射光束的相位。这种圆形螺旋相位板可以通过计算全息和空间光调制器来实现相位的调制，将相位板置于透镜孔径面的前面，然后将带有螺旋相位分布的调制光束通过物镜聚焦，光束的相位分布由相位板调制。假设光学孔径的半径r是a，相位板的传播函数可以写成
光学仪器第39卷
第6期叶有祥，等：螺旋相位调制双曲余弦高斯光束的梯度力研究
ρ（r，φ）=exp（-imφ）r 0其他
（1）
式中φ为涡旋轴的方位角。在z=0处，电场的振幅为
E（x，y，z=0）=A0cosh（Ωxx）cosh（Ωyy）exp-x2+y2ω20
（2）
式中：A0为常量；ω0为入射双曲余弦高斯光束的束腰宽度；cosh为双曲余弦函数。此时（z=0）的径向坐标已经得出，双曲余弦高斯光束可以表示为
E（θ，φ）=A0cosh[NA-1βxsinθcosφ]cosh[NA-1βysinθsinφ]exp-sin2θNA2ω2ρ（r，φ） （3）
式中：NA为聚焦系统的数值孔径；ω=ω0/rp，rp为被调制双曲余弦高斯光束的外半径；βx=rpΩx和βy=rpΩy为双曲余弦高斯光束的偏心参数。设入射高斯光束沿x′轴线偏振，根据矢量衍射理论[12]，聚焦区电场振幅可以表示为
E（ρ，ψ，z）=1λΩE（θ，φ）exp[iφ（θ，φ）]{[cosθ+sin2φ（1-cosθ）]x+cosφsinφ（cosθ-1）y+
cosφsinθz}exp[-ikρsinθcos（φ-ψ）]exp（-ikzcosθ）sinθdθdφ
（4）
式中：变量ρ、ψ和z是聚焦区被观测点的柱面坐标系参数。当φ∈[0，2π）、θ∈[0，arcsin（NA）]时，入射光束被去极化并分别在x、y、z三个方向有三个分量（Ex，Ey，Ez）。聚焦区的光学强度与式（4）的模平方成比例，强度分布可以用数值计算，从而得出螺旋相位调制在焦点区域的强度分布情况。
聚焦激光束作用在介质粒子上的力主要包含两个分量：由电场梯度引起的梯度力分量和由粒子吸收光子所产生的光散射力分量。如果微粒的折射率大于周围介质折射率，则穿过微粒的光略微发生折射，使光传播方向发生一定的改变，从而在光强极大值附近产生一个指向该处的梯度力，这个力非常小，它与激光功率成正比。一般根据所需要镊动的微粒的大小及微粒所能承受的限度来确定所用激光的功率，如用几个毫瓦的激光能够产生几个皮牛顿数量级的力，这已足以操纵小细胞水平的微粒。如果微粒的折射率小于周围介质折射率，从而在光强极小值附近产生一个指向该处的梯度力。光陷阱只能囚禁微小颗粒的位置，如果微粒的折射率大于周围介质折射率，则光陷阱在光强极大值处；如果微粒的折射率小于周围介质折射率，则光陷阱在光强极小值处。本文研究的是微粒的折射率大于周围介质折射率的情况，梯度力Fgrad指向光强极大处。作用于粒子的梯度力可以表示为[7]
Fgrad=n2br3m2s2-1s2+2
SymbolQC@ E（ρ，ψ，z）2
（5）
式中：rm是被捕捉微粒的半径；nb是周围介质的折射率；s是相对折射率（即微粒折射率与周围介质折射率的比）。将式（4）代入式（5）可以得到焦点区域的梯度力分布。
2结果与分析
通过MATLAB数值仿真，研究了螺旋相位调制双曲余弦高斯光束在焦平面上光梯度力的变化情况。图1为数值孔径NA=0.3、拓扑数m=1和不同βx=βy=β情况下的光梯度力分布，图中箭头所指方向为光梯度力方向，坐标单位长度为k-1（k=2π/λ）。通过调节双曲余弦高斯光束的偏心参数，可得到不同的光梯度力分布：当βx=βy=2时，光梯度力分布为圆环结构，两圆环上的梯度力方向相反，形成一个稳定的环形光陷阱，如图1（a）所示；随着β值增加，光梯度力分布发生明显变化，βx=βy=4情况下的光梯度力分布如图1（b）所示，中心存在两个同心分布的菱形光梯度力环，并且在其周围存在较弱的光梯度力环；在βx=βy=8情况下的光梯度力分布如图1（c）所示，中心的两个同心分布的菱形光梯度力环变弱，并且在两个光梯度力环外围存在较多同心菱形光梯度力曲线，在周围存在多个光梯度力菱形环，光梯度力分布变得比图1（b）均匀。由此可见，光梯度力分布随着偏心参数的增加而变化十分显著。
图2为NA=0.3、m=4时不同偏心参数的光梯度力分布图：当βx=βy=2时，存在两个同心光梯度力圆环，构成了一个圆形光陷阱，如图2（a）所示；继续增加β，两个光梯度力圆环发生显著变化，当βx=βy=4时，光梯度力分布呈现矩形，如图2（b）所示；在βx=βy=8情况下光梯度力分布更为复杂，如图2（c）所示。
比较图1和图2可见：高拓扑数可以引起较为复杂的光梯度力分布；不同拓扑数情况下，光梯度力分布随着β的演化规律也不同。
当NA=0.5、m=4时，聚焦区梯度力随双曲余弦高斯光束的不同偏心参数βx=βy=β的变化如图3所示，图中x 和y分别为径向坐标和轴向坐标。当β=5时，光梯度力分布为矩形环，两圆环上的梯度力方向相反，形成一个稳定的矩形光陷阱结构，如图3（a）所示；当偏心参数β由5增大至15时，光轴方向和径向方向的梯度力明显变宽，产生3×3光镊阵列，光梯度力分布阵列如图3（b）所示；将偏心参数β从15增大至25时，轴向和径向方向的梯度力类型都迅速扩大，产生了4×4的阵列，因此光镊阵列可以通过调整参数β来增加，如图3（c）所示；进一步将偏心参数β增大至40时，径向和轴向方向的梯度力漩涡增多，外部梯度力增强且形成一个新的外部陷阱，产生了5×5的阵列，如图3（d）所示。
3结论
通过数值模拟，研究了双曲余弦高斯光束的焦平面上光梯度力可调节特性。研究结果表明：双曲余弦高斯光束的偏心参数、螺旋相位的拓扑数可以显著地调节光梯度力分布，并可以构成相应的光陷阱，例如，圆环形光陷阱、矩形光陷阱、菱形光陷阱等；另外，不同拓扑数下光梯度力随偏心参数的演化规律也显著不同，螺旋相位调制双曲余弦高斯光束所产生的光镊阵列可以操纵复杂结构的微观粒子。
图3当NA=0.5、m=4时，双曲余弦高斯光束的不同偏心参数βx=βy=β对应的聚焦区梯度力变化
Fig.3The gradient force patterns in the focal region under the condition of NA=0.5，m=4，and different βx=βy respectively
參考文献：
[1]DUFRESNE E R，SPALDING G C，DEARING M T，et al.Computergenerated holographic optical tweezer arrays[J].Review of Scientific Instruments，2001，72（3）：18101816. [2]ERIKSEN R L，MOGENSEN P C，GLCKSTAD J.Multiplebeam optical tweezers generated by the generalized phasecontrast method[J].Optics Letters，2002，27（4）：267269.
[3]DUFRESNE E R，GRIER D G.Optical tweezer arrays and optical substrates created with diffractive optics[J].Review of Scientific Instruments，1998，69（5）：19741977.
[4]CURTIS J E，KOSS B A，GRIER D G.Dynamic holographic optical tweezers[J].Optics Communications，2002，207（1/6）：169175.
[5]GARCSCHVEZ V，MCGLOIN D，MELVILLE H，et al.Simultaneous micromanipulation in multiple planes using a selfreconstructing light beam[J].Nature，2002，419（6903）：145147.
[6]PATERSON L，MACDONALD M P，ARLT J，et al.Controlled rotation of optically trapped microscopic particles[J].Science，2001，292（5518）：912914.
[7]ASHKIN A，DZIEDZIC J M，BJORKHOLM J E，et al.Observation of a singlebeam gradient force optical trap for dielectric particles[J].Optics Letters，1986，11（5）：288290.
[8]HECKENBERG N R，MCDUFF R，SMITH C P，et al.Generation of opticalphase singularities by computer generated holograms[J].Optics Letters，1992，17（3）：221223.
[9]BEIJERSBERGEN M W，ALLEN L，VAN DER VEEN H，et al.Astigmatic laser mode converters and transfer of orbital angular momentum[J].Optics Communications，1993，96（1/2/3）：123132.
[10]KOTLYAR V V，ALMAZOV A A，KHONINA S N，et al.Generation of phase singularity through diffracting a plane or Gaussian beam by a spiral phase plate[J].Journal of the Optical Society of America A，2005，22（5）：849861.
[11]CASPERSON L W，TOVAR A A.HermitesinusoidalGaussian beams in complex optical systems[J].Journal of the Optical Society of America A，1998，15（4）：954961.
[12]GU M.Advanced optical imaging theory[M].Berlin Heidelberg：Springer，2000：50100.
（編辑：刘铁英）