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[教学片断]这是一节数学练习课，其中有一道题是这样的：
小强和伙伴们买了10瓶汽水，店主告诉他们，喝完后用3个空汽水瓶可以再换1瓶汽水。问：若不再多花钱，小强他们最多可以喝到多少瓶汽水?
师：下面我给同学们两分钟时间，看看这道题该怎样做，你们先独立思考，然后同桌交流一下各自的思路。
(两分钟后，学生纷纷举起了手)
师：这么快都算出来了?你们的答案是多少?
生：14瓶。
师：谁来说说你是怎样算出来的?
生1：小强他们可以先喝完10瓶汽水，然后留下1个空瓶，用其他9个空瓶换回3瓶汽水，这3瓶汽水喝完后又有3个空瓶可以换1瓶汽水，所以他们最多可以喝10 3 1=14(瓶)汽水。
师：大家同意他的算法吗?
生：同意。
(此时，我正准备肯定这种思考方法，然而坐在后面的曹灿却兴奋地叫了起来)
曹灿：老师，我不同意，他们还可以再多喝1瓶汽水。
(这倒是我没料到的，教室里一下子变得十分安静，大家都好奇地竖起了耳朵)
师：哦，还可以多喝1瓶汽水?说说你的理由。
曹灿：喝完14瓶汽水后还剩下2个空瓶，这时小强他们可以先向店主要1瓶汽水，喝完后正好用3个空瓶换1瓶汽水还给他，这样不就喝到了15瓶汽水吗?
(听了曹灿的解释，大部分学生都为他鼓掌叫好，我也很兴奋)
师：这真是个好主意。小强他们喝到了最多的汽水。店主也回收了所有的空瓶，真正达到了双赢。
(这时，也有学生提出了疑问)
生2：老师，如果店主不给他们1瓶汽水，那最多还是喝到14瓶汽水。
他的话音未落，好几位学生就立刻站起来了。
生3：既然喝这一瓶汽水对店主没有任何损失，又没有赊账，他没理由不给。
生4：对!做生意诚信最重要，咖啡店、酒吧都是先消费后付钱的。
生5：如果他们没有曹灿聪明，没想到这个好主意，就只能喝到14瓶汽水了。
生6：那样，就不能回答“最多可以喝到多少瓶汽水”，而应该改成“一共可以喝多少瓶汽水”。
好家伙，知道抠字眼了。看着他们争论得那么认真，我不由得笑了。这时，另一个有趣的问题突然出现在我脑海里，何不说出来让他们试一试?
师：刚才，同学们都积极动脑思考并大胆地亮出了自己的观点，老师很高兴。尤其是曹灿，做题时不仅思考表面问题，还从剩下的2个空瓶人手，想出了“借一还一”的办法，确实不容易。根据生活实际及当今的商业机制，我认为小强他们喝上15瓶汽水是完全可行的。不过，受你们的启发，我突然想起了数学史上另一道有趣的问题。
有一位阿拉伯老人养了11匹马，他临死前给三个儿子留下一份遗嘱：大儿子、二儿子和小儿子分别得到11匹马中的1／2、1／4和1／6。因为马要分出整数，三个儿子怎么都想不出办法。后来，聪明的邻居想出了个好办法，轻松地把“分马难题”解决了。你们也来想一想，看谁能最快找到解决的办法。
这个有趣的问题立刻使学生兴奋起来，他们几人一组展开了讨论。很快，有两个小组就高兴地宣布想出的办法：借一还一。先向别人借1匹马，这样就有了12匹马，然后大儿子、二儿子和小儿子分别分得6匹、3匹、2匹。共计11匹马，剩下的1匹再还给人家。
有了上一题的提示，这一次学生大多很快能找到解决的办法，我一点不感到奇怪，但我还是让他们说说解题思路。
生7：因为2、4、6都不能整除11，所以要每人分得整数匹马，必须是2、4、6的最小公倍数12，这样就少了一匹马，我们就想到了曹灿的办法，正好合适。
师：你们确实和那位聪明的邻居想到了一块儿，他先借给三兄弟一匹马，分完后多余的一匹马正好牵回家。
(看着学生一张张意犹未尽的笑脸，我再一次向他们抛出了问题)
师：同学们，今天这两道题给了你们哪些启示呢?
生8：我觉得曹灿的做法在生活中有实际意义，比如空啤酒瓶可以换酒，以后我爸爸退瓶换酒时也能多喝一瓶了。
师：无论什么样的情况下都可以多喝一瓶吗?
生8：不是。只有剩下的空瓶比规定的空瓶数少1的时候才行。比如5个啤酒瓶能换1瓶啤酒，你有4个空瓶时就可以先喝1瓶啤酒，然后给他5个空瓶。
师：对，这个规律总结得好!那类似“分马难题”，你们有什么想法吗?
生9：我发现如果有5只羊，要分成1／2和1／3，也可以用这种方法。
生10：我们也发现了一组这样的数，总数是17，分成1／2、1／3和1／9时能用这种方法。
生11(十分得意地)：老师，我发现了一个规律：这一类题的总数是从5开始，后一个数比前面的多6就行。
师：哦，下一个数是23，你说说怎么分可以用“借一还一”的办法。
生11分成1／2、1／3和1／8时就行了。
师：你说的这个规律是否成立呢?后面的分法有规律吗?说实话，这些我以前还真没思考过。今天回去后，有兴趣的同学可以继续思考、验证。老师要感谢大家，今天给我上了一堂生动的数学课，让我获益匪浅。
[反思]有人说，普通教师与优秀教师的区别在于：前者教给学生知识，后者教给学生智慧。我一直希望自己能做后者。在这堂大大超出预设的练习课上，当我不经意间听到有学生从新的角度得出新的答案时，我没有在给予评价后就简单地停下来，而是借学生这种新的解题思路，提出了有趣的“分马难题”。我有意识地引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，激发了学生学习数学的兴趣。在表面问题都得到解决后，我再一次引导学生深入思考，总结第一题的规律，鼓励他们继续验证第二题猜测的结论。一堂看似有点“跑题”的数学课，却有这么多智慧的生成。我觉得值!
小强和伙伴们买了10瓶汽水，店主告诉他们，喝完后用3个空汽水瓶可以再换1瓶汽水。问：若不再多花钱，小强他们最多可以喝到多少瓶汽水?
师：下面我给同学们两分钟时间，看看这道题该怎样做，你们先独立思考，然后同桌交流一下各自的思路。
(两分钟后，学生纷纷举起了手)
师：这么快都算出来了?你们的答案是多少?
生：14瓶。
师：谁来说说你是怎样算出来的?
生1：小强他们可以先喝完10瓶汽水，然后留下1个空瓶，用其他9个空瓶换回3瓶汽水，这3瓶汽水喝完后又有3个空瓶可以换1瓶汽水，所以他们最多可以喝10 3 1=14(瓶)汽水。
师：大家同意他的算法吗?
生：同意。
(此时，我正准备肯定这种思考方法，然而坐在后面的曹灿却兴奋地叫了起来)
曹灿：老师，我不同意，他们还可以再多喝1瓶汽水。
(这倒是我没料到的，教室里一下子变得十分安静，大家都好奇地竖起了耳朵)
师：哦，还可以多喝1瓶汽水?说说你的理由。
曹灿：喝完14瓶汽水后还剩下2个空瓶，这时小强他们可以先向店主要1瓶汽水，喝完后正好用3个空瓶换1瓶汽水还给他，这样不就喝到了15瓶汽水吗?
(听了曹灿的解释，大部分学生都为他鼓掌叫好，我也很兴奋)
师：这真是个好主意。小强他们喝到了最多的汽水。店主也回收了所有的空瓶，真正达到了双赢。
(这时，也有学生提出了疑问)
生2：老师，如果店主不给他们1瓶汽水，那最多还是喝到14瓶汽水。
他的话音未落，好几位学生就立刻站起来了。
生3：既然喝这一瓶汽水对店主没有任何损失，又没有赊账，他没理由不给。
生4：对!做生意诚信最重要，咖啡店、酒吧都是先消费后付钱的。
生5：如果他们没有曹灿聪明，没想到这个好主意，就只能喝到14瓶汽水了。
生6：那样，就不能回答“最多可以喝到多少瓶汽水”，而应该改成“一共可以喝多少瓶汽水”。
好家伙，知道抠字眼了。看着他们争论得那么认真，我不由得笑了。这时，另一个有趣的问题突然出现在我脑海里，何不说出来让他们试一试?
师：刚才，同学们都积极动脑思考并大胆地亮出了自己的观点，老师很高兴。尤其是曹灿，做题时不仅思考表面问题，还从剩下的2个空瓶人手，想出了“借一还一”的办法，确实不容易。根据生活实际及当今的商业机制，我认为小强他们喝上15瓶汽水是完全可行的。不过，受你们的启发，我突然想起了数学史上另一道有趣的问题。
有一位阿拉伯老人养了11匹马，他临死前给三个儿子留下一份遗嘱：大儿子、二儿子和小儿子分别得到11匹马中的1／2、1／4和1／6。因为马要分出整数，三个儿子怎么都想不出办法。后来，聪明的邻居想出了个好办法，轻松地把“分马难题”解决了。你们也来想一想，看谁能最快找到解决的办法。
这个有趣的问题立刻使学生兴奋起来，他们几人一组展开了讨论。很快，有两个小组就高兴地宣布想出的办法：借一还一。先向别人借1匹马，这样就有了12匹马，然后大儿子、二儿子和小儿子分别分得6匹、3匹、2匹。共计11匹马，剩下的1匹再还给人家。
有了上一题的提示，这一次学生大多很快能找到解决的办法，我一点不感到奇怪，但我还是让他们说说解题思路。
生7：因为2、4、6都不能整除11，所以要每人分得整数匹马，必须是2、4、6的最小公倍数12，这样就少了一匹马，我们就想到了曹灿的办法，正好合适。
师：你们确实和那位聪明的邻居想到了一块儿，他先借给三兄弟一匹马，分完后多余的一匹马正好牵回家。
(看着学生一张张意犹未尽的笑脸，我再一次向他们抛出了问题)
师：同学们，今天这两道题给了你们哪些启示呢?
生8：我觉得曹灿的做法在生活中有实际意义，比如空啤酒瓶可以换酒，以后我爸爸退瓶换酒时也能多喝一瓶了。
师：无论什么样的情况下都可以多喝一瓶吗?
生8：不是。只有剩下的空瓶比规定的空瓶数少1的时候才行。比如5个啤酒瓶能换1瓶啤酒，你有4个空瓶时就可以先喝1瓶啤酒，然后给他5个空瓶。
师：对，这个规律总结得好!那类似“分马难题”，你们有什么想法吗?
生9：我发现如果有5只羊，要分成1／2和1／3，也可以用这种方法。
生10：我们也发现了一组这样的数，总数是17，分成1／2、1／3和1／9时能用这种方法。
生11(十分得意地)：老师，我发现了一个规律：这一类题的总数是从5开始，后一个数比前面的多6就行。
师：哦，下一个数是23，你说说怎么分可以用“借一还一”的办法。
生11分成1／2、1／3和1／8时就行了。
师：你说的这个规律是否成立呢?后面的分法有规律吗?说实话，这些我以前还真没思考过。今天回去后，有兴趣的同学可以继续思考、验证。老师要感谢大家，今天给我上了一堂生动的数学课，让我获益匪浅。
[反思]有人说，普通教师与优秀教师的区别在于：前者教给学生知识，后者教给学生智慧。我一直希望自己能做后者。在这堂大大超出预设的练习课上，当我不经意间听到有学生从新的角度得出新的答案时，我没有在给予评价后就简单地停下来，而是借学生这种新的解题思路，提出了有趣的“分马难题”。我有意识地引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，激发了学生学习数学的兴趣。在表面问题都得到解决后，我再一次引导学生深入思考，总结第一题的规律，鼓励他们继续验证第二题猜测的结论。一堂看似有点“跑题”的数学课，却有这么多智慧的生成。我觉得值!