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摘要：“数学广角”作为人教版数学教材编排的一大特色，其对发展学生的数学思想，培养学生的应用意识、解决实际问题的能力以及学生的数学核心素养，都有着积极的作用。文章以人教版五年级上册的“数学广角”——“植树问题”的教学为例，通过展示部分教学片断，分析如何利用“植树”问题向学生渗透建模思想，以使学生触类旁通、举一反三。
关键词：小学数学;“数学广角”;数学思想
一、小学“数学广角”单元教学内容的特点
“数学广角”这一单元内容是人教版数学教材的一大特色，从二年级到六年级，增设独立于“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”这四大板块的单元内容，它蕴藏着丰富的数学历史、数学知识以及数学思想。教材编者煞费苦心特意编排这一内容，旨在通过数学广角的教学，循序渐进地、系统地向学生更好地渗透相关的数学思想，引导学生发现数学与生活的紧密联系，培养学生的实际运用能力，促使数学核心素养的落实。
“数学广角”的教学内容比较灵活，兼具开放性与挑战性，并非简单计算便能得出答案，需要学生经历猜想、操作、验证等系列过程，这有利于学生的体验与感悟其中蕴含着的数学思想。此外，数学广角教学内容贴近现实生活，将复杂、抽象的数学思想寓于学生常见的生活情景中，既增强了数学教学的趣味性，又易于调动学生的学习兴趣，利于激发学生的好奇心和探究欲。
二、小学数学五年级上册“植树问题”中的数学模型思想渗透分析
模型思想是指从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，换句话说，即将客观事物做抽象化的处理，从而建立起一个数学模型，根据这个数学模型有效分析事物本质规律的一种思维方法。
人教版五年级上册“数学广角”单元教学为“植树问题”，这一问题涉及“两端都植树”“一端植树”“两端都不植树”三种情况。
【教学片断一】
师：同学们，请看看屏幕上的这道题，大家会做吗？（多媒体出示题目：20米，每5米分一段，一共可分几段？）
生（大部分学生快速回答）：4段。
师：正确，我们继续挑战，请继续看题。这题的答案又是多少呢？（多媒体出示题目：20米路，每5米种一棵树，一共可以种几棵树？）
生（多数）：4棵。
生（少数）：5棵。
师：有同学说4棵，有同学说5棵，到底谁正确呢？请看屏幕。（多媒体出示图1）
在备课时，笔者预测学生做“20米路，每5米种一棵树，一共可以种几棵树？”这道题时会出现两种不同答案，为此，笔者在实际教学中以此为契机，引发学生的认知冲突。另外，当出现两种不同的答案时，笔者先告诉学生正确的答案，却未告诉学生“为什么”，这有利于激发学生的求知欲，调动学生的主动性，促使其积极参与教学活动，主动探究新知。
【教学片断二】
师：正确答案是5棵。真奇怪，两道题目的表述好像都一样呀，为什么一个答案是4，一个答案是5呢？下面，请同学们以小组的形式来“找茬”，认真讨论这两道题的异同点在哪里。
（经过讨论，学生发表意见）
生：这两道题的相同点：都是平均分。这两道题的不同我们也找到了，前面一道题说的是“每5米分一段”，后面一道题说的是“每5米种一棵树”。
师：好，关于不同点，老师觉得可以再精准一点，不同点在于“一段”与“一棵树”，对吗？
生：对。
师：那“一段”与“一棵树”有什么不同呢？
生：“一段”有两个点，“树”是种在坑里的，所以“一棵树”相当于一个点。
师：按道理说，“一段”有两个点，“一棵树”才一个点，那是不是段数比点多呢？
师：两段有多少个点？三段呢？四段呢？五段呢？六段呢？—n段呢？
生：两段有三个点，三段有四个点，四段有五个点，五段有六个点。n段有n 1个点。
师：所以是点多还是段多？段数和点有什么关系？
生：点比段数多1，点=段数 1。
师：在植树问题里，“平均分的段”代表什么？
生：代表两棵树之间的间隔。
师：回答正确。所以，对于“20米路，每5米种一棵树，一共可以种几棵树？”这道题，我们应该怎么算？
生：20÷5 1=5（棵）。
师生齐总结：植树棵数=距离÷间隔 1。
在这一教学片断中，笔者首先引导学生明白，“植树”是植在点上，而不是植在段中;在此基础上，笔者通过循序渐进的提问，逐步引导学生发现“段”与“点”的关系——点=段数 1，并使学生明确“段”代表树与树之间的距离。这样，通过一连串问题的引导，学生在思考过程中不知不觉便在头脑中建立起了“植树问题”的模型思想：“植树棵数=距离÷间隔 1”。建立了这一模型思想后，对于“植树问题”，学生便能做到触类旁通、举一反三了。
【教学片断三】
师：同学们请看屏幕的这幅图，还是的同样的条件，在这种情况下，可以植多少棵树呢？（多媒体出示图2）
生：4棵。
师：怎么算的？可以用我们刚才学习的“植树棵数=距离-间隔 1”这个规律算吗？
生：就是用“植树棵数=距离÷间隔 1”这个规律算的，只不过算完之后要减去1，因为有一端被房子挡住了，不能种树。
师：那出现这种情况呢？可以种多少棵？同学们又是怎么计算的？（多媒体出示图3）
生：一共可以种3棵，还是可以用“植树棵数=距离÷间隔 1”这个规律来计算，只不过左右两端都被房子挡住了，所以算完之后需要减去2。
师：看来大家对植树问题的规律掌握得不错，能根据实际情况灵活变通运用。老师把同学们刚刚说的话重新整理一遍，大家仔细听，看老师说的对不对。一端能种树，一端不能种树的情况下，种树规律则为“植树棵数=距离-间隔 1-1”，也就是“植树棵数=距离÷间隔”;两端都被挡住，即两端都不种树的情况下，种树规律为“植树棵数=距离÷间隔 1-2”，也就是“植树棵数=距离÷间隔一1”。老师说清楚了吗？是不是这个意思？
生：对，就是这个意思。
师：好，老师想请同学们与老师一起来总结一下这三个种树规律，有信心吗？
师生齐总结：两端都种树：植树棵数=距离÷间隔 1。一端种树：植树棵数=距离÷间隔。两端都不种树：植树棵数=距离÷间隔-1。
在学生建立了一般植树问题的模型思想后，笔者逐步引申出植树问题的两种特殊情况，引导学生在运用植树问题模型思想解决问题的过程中，总结出“一端植树”和“两端都不植树”的数学规律。另外，在教学时，笔者用简练的语言复述学生的话，并请学生判断笔者说得对不对，这有利于集中學生的注意力，促使学生积极参与课堂教学;而最后师生齐总结三种不同的植树方式的规律时，有利于学生整理自己的思绪，回顾教学内容，巩固新知。
【教学片断四】
师：植树问题规律可以运用在其他地方吗？
生1：路灯的安装。
生2：公交站的设定。
生3：锯木头也可以用，属于两端都不种树的情况。
生4：爬楼梯是属于一端种树的情况。
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。笔者让学生通过头脑风暴的形式，把植树问题的模型思想与生活联系起来，引导学生发现数学知识与生活联系的紧密性，让学生学会学以致用，将理论与实践结合起来。
三、结语
人教版小学数学中“数学广角”的教学内容，紧贴生活实际，虽然教起来有一定的难度，但其蕴含着丰富的数学思想，教师需要予以重视，不可因其难教便敷衍了事，不仅需要精心研读教材，更要做到“备学生”，引领学生经历“观察、分析、归纳、推理”等活动，使学生从中感悟到相关的数学思想，并灵活运用数学思想。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]蒙泽颖.小学高年级“数学广角”单元渗透数学思想方法的教学策略研究——以人教版教材为个案[D].贵阳：贵州师范大学，2019.
关键词：小学数学;“数学广角”;数学思想
一、小学“数学广角”单元教学内容的特点
“数学广角”这一单元内容是人教版数学教材的一大特色，从二年级到六年级，增设独立于“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”这四大板块的单元内容，它蕴藏着丰富的数学历史、数学知识以及数学思想。教材编者煞费苦心特意编排这一内容，旨在通过数学广角的教学，循序渐进地、系统地向学生更好地渗透相关的数学思想，引导学生发现数学与生活的紧密联系，培养学生的实际运用能力，促使数学核心素养的落实。
“数学广角”的教学内容比较灵活，兼具开放性与挑战性，并非简单计算便能得出答案，需要学生经历猜想、操作、验证等系列过程，这有利于学生的体验与感悟其中蕴含着的数学思想。此外，数学广角教学内容贴近现实生活，将复杂、抽象的数学思想寓于学生常见的生活情景中，既增强了数学教学的趣味性，又易于调动学生的学习兴趣，利于激发学生的好奇心和探究欲。
二、小学数学五年级上册“植树问题”中的数学模型思想渗透分析
模型思想是指从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，换句话说，即将客观事物做抽象化的处理，从而建立起一个数学模型，根据这个数学模型有效分析事物本质规律的一种思维方法。
人教版五年级上册“数学广角”单元教学为“植树问题”，这一问题涉及“两端都植树”“一端植树”“两端都不植树”三种情况。
【教学片断一】
师：同学们，请看看屏幕上的这道题，大家会做吗？（多媒体出示题目：20米，每5米分一段，一共可分几段？）
生（大部分学生快速回答）：4段。
师：正确，我们继续挑战，请继续看题。这题的答案又是多少呢？（多媒体出示题目：20米路，每5米种一棵树，一共可以种几棵树？）
生（多数）：4棵。
生（少数）：5棵。
师：有同学说4棵，有同学说5棵，到底谁正确呢？请看屏幕。（多媒体出示图1）
在备课时，笔者预测学生做“20米路，每5米种一棵树，一共可以种几棵树？”这道题时会出现两种不同答案，为此，笔者在实际教学中以此为契机，引发学生的认知冲突。另外，当出现两种不同的答案时，笔者先告诉学生正确的答案，却未告诉学生“为什么”，这有利于激发学生的求知欲，调动学生的主动性，促使其积极参与教学活动，主动探究新知。
【教学片断二】
师：正确答案是5棵。真奇怪，两道题目的表述好像都一样呀，为什么一个答案是4，一个答案是5呢？下面，请同学们以小组的形式来“找茬”，认真讨论这两道题的异同点在哪里。
（经过讨论，学生发表意见）
生：这两道题的相同点：都是平均分。这两道题的不同我们也找到了，前面一道题说的是“每5米分一段”，后面一道题说的是“每5米种一棵树”。
师：好，关于不同点，老师觉得可以再精准一点，不同点在于“一段”与“一棵树”，对吗？
生：对。
师：那“一段”与“一棵树”有什么不同呢？
生：“一段”有两个点，“树”是种在坑里的，所以“一棵树”相当于一个点。
师：按道理说，“一段”有两个点，“一棵树”才一个点，那是不是段数比点多呢？
师：两段有多少个点？三段呢？四段呢？五段呢？六段呢？—n段呢？
生：两段有三个点，三段有四个点，四段有五个点，五段有六个点。n段有n 1个点。
师：所以是点多还是段多？段数和点有什么关系？
生：点比段数多1，点=段数 1。
师：在植树问题里，“平均分的段”代表什么？
生：代表两棵树之间的间隔。
师：回答正确。所以，对于“20米路，每5米种一棵树，一共可以种几棵树？”这道题，我们应该怎么算？
生：20÷5 1=5（棵）。
师生齐总结：植树棵数=距离÷间隔 1。
在这一教学片断中，笔者首先引导学生明白，“植树”是植在点上，而不是植在段中;在此基础上，笔者通过循序渐进的提问，逐步引导学生发现“段”与“点”的关系——点=段数 1，并使学生明确“段”代表树与树之间的距离。这样，通过一连串问题的引导，学生在思考过程中不知不觉便在头脑中建立起了“植树问题”的模型思想：“植树棵数=距离÷间隔 1”。建立了这一模型思想后，对于“植树问题”，学生便能做到触类旁通、举一反三了。
【教学片断三】
师：同学们请看屏幕的这幅图，还是的同样的条件，在这种情况下，可以植多少棵树呢？（多媒体出示图2）
生：4棵。
师：怎么算的？可以用我们刚才学习的“植树棵数=距离-间隔 1”这个规律算吗？
生：就是用“植树棵数=距离÷间隔 1”这个规律算的，只不过算完之后要减去1，因为有一端被房子挡住了，不能种树。
师：那出现这种情况呢？可以种多少棵？同学们又是怎么计算的？（多媒体出示图3）
生：一共可以种3棵，还是可以用“植树棵数=距离÷间隔 1”这个规律来计算，只不过左右两端都被房子挡住了，所以算完之后需要减去2。
师：看来大家对植树问题的规律掌握得不错，能根据实际情况灵活变通运用。老师把同学们刚刚说的话重新整理一遍，大家仔细听，看老师说的对不对。一端能种树，一端不能种树的情况下，种树规律则为“植树棵数=距离-间隔 1-1”，也就是“植树棵数=距离÷间隔”;两端都被挡住，即两端都不种树的情况下，种树规律为“植树棵数=距离÷间隔 1-2”，也就是“植树棵数=距离÷间隔一1”。老师说清楚了吗？是不是这个意思？
生：对，就是这个意思。
师：好，老师想请同学们与老师一起来总结一下这三个种树规律，有信心吗？
师生齐总结：两端都种树：植树棵数=距离÷间隔 1。一端种树：植树棵数=距离÷间隔。两端都不种树：植树棵数=距离÷间隔-1。
在学生建立了一般植树问题的模型思想后，笔者逐步引申出植树问题的两种特殊情况，引导学生在运用植树问题模型思想解决问题的过程中，总结出“一端植树”和“两端都不植树”的数学规律。另外，在教学时，笔者用简练的语言复述学生的话，并请学生判断笔者说得对不对，这有利于集中學生的注意力，促使学生积极参与课堂教学;而最后师生齐总结三种不同的植树方式的规律时，有利于学生整理自己的思绪，回顾教学内容，巩固新知。
【教学片断四】
师：植树问题规律可以运用在其他地方吗？
生1：路灯的安装。
生2：公交站的设定。
生3：锯木头也可以用，属于两端都不种树的情况。
生4：爬楼梯是属于一端种树的情况。
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。笔者让学生通过头脑风暴的形式，把植树问题的模型思想与生活联系起来，引导学生发现数学知识与生活联系的紧密性，让学生学会学以致用，将理论与实践结合起来。
三、结语
人教版小学数学中“数学广角”的教学内容，紧贴生活实际，虽然教起来有一定的难度，但其蕴含着丰富的数学思想，教师需要予以重视，不可因其难教便敷衍了事，不仅需要精心研读教材，更要做到“备学生”，引领学生经历“观察、分析、归纳、推理”等活动，使学生从中感悟到相关的数学思想，并灵活运用数学思想。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]蒙泽颖.小学高年级“数学广角”单元渗透数学思想方法的教学策略研究——以人教版教材为个案[D].贵阳：贵州师范大学，2019.