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摘要：数学证明是由假设经过严密的推理得出结论的过程，它包括论题、论据和论证三个方面。一个正确的数学证明必须是论题明确、不含糊；论据不多不少；论证步步有据。否则就会导致证明的错误，甚至留下错误的“定理”。
关键词：数学证明严谨性
培根说过 “数学使人严密”，严谨的思维是每个学习数学的人不可缺少的财富。数学证明是由假设经过严密的推理得出结论的过程，它包括论题、论据和论证三个方面。一个正确的数学证明必须是论题明确、不含糊；论据不多不少；论证步步有据。否则就会导致证明的错误，甚至留下错误的“定理”。我认为引起数学证明错误的主要因素有以下几个方面：
一、对论题理解不够
论题本身就是一个假命题，但是被施以完美的证明后变成了“真命题”。如例1的证明。
例1：有一组对边和一组对角相等的四边形是平行四边形。
我们且看下面的证明.
已知：如右圖，设在四边形ABCD中，
AD=BC，∠A=∠C
求证：ABCD是平行四边形。
证明：过B点作BE⊥CD于E，
过D点作DF⊥AB于F。
于是在直角△AFD和直角△CEB中
∵AD=BC，∠A=∠C
∴△AFD≌△CEB
∴AF=CE，DF=BE
又连接BD，则在直角△BFD和直角△DEB中
∵DF=BE，DB=BD
∴△BFD≌△DEB
∴BF=DE，∠DBF=∠BDE
∴DC‖AB，DC=DE EC=BF AF
∴ABCD是平行四边形
虽然上面这个证明看上去步步有据，没有任何问题存在，但是这个证明在一开始就出现了严重的问题，破坏了数学的严谨性，即以偏概全。我们试回过头来看一下这个题目的题设“有一组对边和一组对角相等的四边形”，那么符合题设所列条件的四边形是不是只有平行四边形呢？如果真只有平行四边形一种，那么上述证明是准确的、无懈可击的。但问题就恰恰出在这里，除平行四边形之外还有符合题设条件的四边形存在。请看下面给出的图形：
如右图所示：四边形ABCD是由两个全等的三角形（△ABC和△EDA）和一个等腰三角形（△ACE）构成的。它满足一组对边（BC和AD）和一组对角（∠B和∠D）相等的条件，但它不是平行四边形。这个图形告诉我们“有一组对边和一组对角相等的四边形”并不一定是平行四边形，还可以是右边的图形。这让我们认识到以上的证明实际上是在让一个错误的说法变正确，那当然是不可能的。不难想像这个证明是错误的。
以上例题虽论题本身是假命题，但是被施以完美的证明后变成了“真命题”，留下了错误的结论，就是没有遵循数学的严谨性而造成的。
二、论据应用错误
使用定理时忽略定理中的条件、或误解定理的内容。如：在应用平面与平面平行的判定定理时，忽略平面内两条直线的位置关系，而在证明中应用“如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行”的错误论据。
应用未加证明的结论做论据。如在例1的证明中有一位同学在证明三角形全等时用“有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等”的结论。
例3：如图，AD是△ABC边BC上的高，EH是△EFG边FG上的高，且∠B=∠F，BC=FG，AD＝EH．求证：△ABC≌△EFG.
现把这位同学的证明过程照录如下:
证明: ∵AD是△ABC边BC上的高，
EH是△EFG边FG上的高
∴在△ABD和△EFH中
∠ADB=∠EHF＝90°
∠B=∠F
AD＝EH
∴△ABD≌△EFH
∴AB＝EF
则在△ABC和△EFG中
AB＝EF
BC=FG
AD＝EH
∴△ABC≌△EFG
“有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等”是一个未经证明的命题，这个命题是否成立，我们还需要证明。我们看下面的图形，△ABC是等腰（AC=BC）三角形，过C点作CD‖AB，过A点作AE⊥DC的延长线于点E，过B点作BF⊥CD于点F，则△ACD和△BCD是有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形，但它们不全等。因此，我们在用未加证明的结论时要慎重，必要时我们在证明中加上对它的证明。
三、证明过程不严谨
证明方法应用不当，出现用结论证明结论的循环证明。
对题目描述问题的情况考虑不全，使某种符合题目条件的情况缺失，而是证明只限于局部情况，出现以偏概全的片面证明。
例4：已知M是两条异面直线ab外一点，则过M且与ab都平行的平面有几个？
解：设平面α过点M，且与a、b都平行，则直线a及其外一点M所确定的平面与α的交线a’必与a平行.同理存在b’ ∈α,且b’ ∈b,则α为a’与b’确定的平面，由于过M且与a平行的直线a’是唯一的，b’也是唯一的，因而由a’、b’确定的平面α也是唯一的.综上所述，过M且与a、b都平行的平面只有一个.
此解法在探索符合条件的平面时没有注意到aα或bα的特殊情况，也就是说这是一个不完整的、不严谨的解题过程。下面我们给出正确的解法：
解：过M作直线a’a,过M作直线b’b，则a’、b’确定平面α，当a、b都不在由a’、b’确定的平面α内时，过M且与a、b都平行的平面只有一个；当a∈α或b∈α时，过M且与a、b都平行的平面不存在.
通过以上论述，我们不难发现数学的严谨性是不可忽视的，一旦数学的严谨性受到挑战，必将产生严重的后果，轻则引起证明的错误，重则留给后来学习者错误的数学知识。因此，我们必须以严谨的态度对待数学。
关键词：数学证明严谨性
培根说过 “数学使人严密”，严谨的思维是每个学习数学的人不可缺少的财富。数学证明是由假设经过严密的推理得出结论的过程，它包括论题、论据和论证三个方面。一个正确的数学证明必须是论题明确、不含糊；论据不多不少；论证步步有据。否则就会导致证明的错误，甚至留下错误的“定理”。我认为引起数学证明错误的主要因素有以下几个方面：
一、对论题理解不够
论题本身就是一个假命题，但是被施以完美的证明后变成了“真命题”。如例1的证明。
例1：有一组对边和一组对角相等的四边形是平行四边形。
我们且看下面的证明.
已知：如右圖，设在四边形ABCD中，
AD=BC，∠A=∠C
求证：ABCD是平行四边形。
证明：过B点作BE⊥CD于E，
过D点作DF⊥AB于F。
于是在直角△AFD和直角△CEB中
∵AD=BC，∠A=∠C
∴△AFD≌△CEB
∴AF=CE，DF=BE
又连接BD，则在直角△BFD和直角△DEB中
∵DF=BE，DB=BD
∴△BFD≌△DEB
∴BF=DE，∠DBF=∠BDE
∴DC‖AB，DC=DE EC=BF AF
∴ABCD是平行四边形
虽然上面这个证明看上去步步有据，没有任何问题存在，但是这个证明在一开始就出现了严重的问题，破坏了数学的严谨性，即以偏概全。我们试回过头来看一下这个题目的题设“有一组对边和一组对角相等的四边形”，那么符合题设所列条件的四边形是不是只有平行四边形呢？如果真只有平行四边形一种，那么上述证明是准确的、无懈可击的。但问题就恰恰出在这里，除平行四边形之外还有符合题设条件的四边形存在。请看下面给出的图形：
如右图所示：四边形ABCD是由两个全等的三角形（△ABC和△EDA）和一个等腰三角形（△ACE）构成的。它满足一组对边（BC和AD）和一组对角（∠B和∠D）相等的条件，但它不是平行四边形。这个图形告诉我们“有一组对边和一组对角相等的四边形”并不一定是平行四边形，还可以是右边的图形。这让我们认识到以上的证明实际上是在让一个错误的说法变正确，那当然是不可能的。不难想像这个证明是错误的。
以上例题虽论题本身是假命题，但是被施以完美的证明后变成了“真命题”，留下了错误的结论，就是没有遵循数学的严谨性而造成的。
二、论据应用错误
使用定理时忽略定理中的条件、或误解定理的内容。如：在应用平面与平面平行的判定定理时，忽略平面内两条直线的位置关系，而在证明中应用“如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行”的错误论据。
应用未加证明的结论做论据。如在例1的证明中有一位同学在证明三角形全等时用“有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等”的结论。
例3：如图，AD是△ABC边BC上的高，EH是△EFG边FG上的高，且∠B=∠F，BC=FG，AD＝EH．求证：△ABC≌△EFG.
现把这位同学的证明过程照录如下:
证明: ∵AD是△ABC边BC上的高，
EH是△EFG边FG上的高
∴在△ABD和△EFH中
∠ADB=∠EHF＝90°
∠B=∠F
AD＝EH
∴△ABD≌△EFH
∴AB＝EF
则在△ABC和△EFG中
AB＝EF
BC=FG
AD＝EH
∴△ABC≌△EFG
“有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等”是一个未经证明的命题，这个命题是否成立，我们还需要证明。我们看下面的图形，△ABC是等腰（AC=BC）三角形，过C点作CD‖AB，过A点作AE⊥DC的延长线于点E，过B点作BF⊥CD于点F，则△ACD和△BCD是有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形，但它们不全等。因此，我们在用未加证明的结论时要慎重，必要时我们在证明中加上对它的证明。
三、证明过程不严谨
证明方法应用不当，出现用结论证明结论的循环证明。
对题目描述问题的情况考虑不全，使某种符合题目条件的情况缺失，而是证明只限于局部情况，出现以偏概全的片面证明。
例4：已知M是两条异面直线ab外一点，则过M且与ab都平行的平面有几个？
解：设平面α过点M，且与a、b都平行，则直线a及其外一点M所确定的平面与α的交线a’必与a平行.同理存在b’ ∈α,且b’ ∈b,则α为a’与b’确定的平面，由于过M且与a平行的直线a’是唯一的，b’也是唯一的，因而由a’、b’确定的平面α也是唯一的.综上所述，过M且与a、b都平行的平面只有一个.
此解法在探索符合条件的平面时没有注意到aα或bα的特殊情况，也就是说这是一个不完整的、不严谨的解题过程。下面我们给出正确的解法：
解：过M作直线a’a,过M作直线b’b，则a’、b’确定平面α，当a、b都不在由a’、b’确定的平面α内时，过M且与a、b都平行的平面只有一个；当a∈α或b∈α时，过M且与a、b都平行的平面不存在.
通过以上论述，我们不难发现数学的严谨性是不可忽视的，一旦数学的严谨性受到挑战，必将产生严重的后果，轻则引起证明的错误，重则留给后来学习者错误的数学知识。因此，我们必须以严谨的态度对待数学。