论文部分内容阅读
【摘要】深度的学习来自认知的不适。在课堂学习中，当学生遭遇认知遇阻、认知冲突与认知失衡时便会形成认知不适，这种认知不适是由学习任务的挑战性引发的。本案例意图通过挑战性的数学学习任务引发学生认知不适，从而形成学习的内驱力，使学习真正发生并走向深入，实现深度的数学学习。
【关键词】认知不适；深度学习；线的认识
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）65-0055-03
【作者简介】李培芳，福建省厦门市华昌小学（福建厦门，361000）教导主任，高级教师，福建省数学学科带头人。
一、抽象与比较，初步感知“线”
师：同学们，今天我们要认识“线”，生活中见过线吗？
生：见过。
师：闭上眼睛，想象生活中各种各样的线，有时候闭上眼睛，你可以看到更多。
生：电线。
生：毛线。
生：天线。
生：地平线。
師：真好，同学们的头脑里有一个“线的世界”。
师：数学中的线和生活中的线会一样吗？
（学生众说纷纭。）
师（拿出一个盒子）：用生活的眼光看，这是一个盒子，没有线，用数学的眼光看……
生：有线，有4条线。
生：有8条！
师：都看到了吗？在哪儿呢？看来数学中的线和生活中的线有所不同啊！
（课件出示生活中的立体图形，而后抽象出线。）
数学上的线是高度抽象的，以至于在现实世界中找不到原型。这种水平的抽象小学生几乎是无法真正理解的。不过，教学应当尝试去触碰学生能接受的“上限”，谨慎地去触碰，不同水平的学生在这样的活动中会有不同的收获。教学中教师提出“用生活的眼光看，这显然只是一个盒子，没有线，不过，用数学的眼光看……”，这个比较还是精妙而妥帖的。比较中学生的认知失衡了，他们突然发现认知中的线和数学上的线有所不同，这种感受有助于他们感悟线的抽象性、数学的抽象性。
二、想象与分类，整体感知“线”
师：观察屏幕上的线，这些线有什么不同。
生：有直的，有弯的。
生：有长的，有短的。
屏幕出示：线有（曲直）；线有（长短）。
师：因为线有曲直，所以线分为直直的线和弯弯的线。这节课，我们只研究直直的线。（课件隐去曲线，留在屏幕上的是三条线段。）
师：想想，线有长短，可以把线怎样分类呢？
生：可以分成长长的线和短短的线。
生：还有一般长度的线。
生：还有很短很短的线。
生：那还有很长很长的线。
师：同学们真会想问题，我们要对线分类，到底是要对哪些线分类呢？是只对屏幕上的三条线分类吗？
生：不是的，是对很多线分类。
生：是要把所有的线分类。
师：这样，我们的心里就必须有整个线的世界。就像同学们说的，线还有很短很短的，比画一下。（学生比画）还有很长很长的，也比画一下。你能说一条很长很长的线吗？
生：从黑板的这边到那边。
生：从教室的前面到后面。
生：从教室到学校操场。
生：从教室到家里。
生：从厦门到北京。
生：从地球到太阳。（全体学生情绪激昂。）
师：这样，咱们不比了，安静地思考，你能说一条长度让人无法超越的线吗？
生：一万千米，哦，一亿千米长。
师：哈哈，显然会被超越，一亿千米再多一米的线就比你说的长了。
生：从宇宙这头到宇宙的那头。
师：哈哈，你从这头到那头，我两边都出头，是不是就比你说的长了。
生：无边无际的长。
师：啥意思？（学生不知如何表达）是不是这个意思，请看屏幕。
（课件出示一片星空，一条线向两端无限延伸。）
师：现在，如果按照长短将线分类，你想怎么分？
生：有头有尾的线分一类，没头没尾的线分一类。
师：想想，有第三类吗？
生：还有有头没尾的线。（课件出示射线）
师：想想，还有第四类吗？
生：还有没头有尾的线。（课件出示反方向的射线。）
生：这和前面那一条是一样的，只是方向不同。
师生小结：线分为无限长的线和有限长的线，无限长的线又分为没头没尾的线和有头没尾的线。
出示三个概念：线段、射线、直线。
师：同学们说说，哪个是哪个？
生：有头有尾的线是线段，有头没尾的线是射线，没头没尾的线是直线。
师：生活中你在哪里见过射线？哪里见过直线？（生答略）
在这一环节的学习中，学生遇到了相当大的困难。一方面，想象是不易的，但却是必要的。因为直线和射线存在于想象而不是现实。更多的教学是直接揭示直线和射线让学生想象。而本课意图让学生从“分类需要有一个线的世界”入手，让学生硬生生地“凭空”想象出直线和射线来，这种困难是加倍的。另一方面，分类是不易的，但却是有价值的。因为分类，线段、射线和直线的认知便成了结构化的认知；因为分类，学生能充分地领略数学分类思考的有序、全面与严谨。教师大胆引导学生思考“有让人无法超越的线吗？”“有第三类吗？”“有第四类吗？”……过程中，学生的认知状态是受阻的，然而当他们跨越阻隔获得成功后，那种感受却又是美妙的，我们将这种美妙的感受称为体验。这样的教学设计源于高立意的教学追求，追求的是学生对数学本质的理解，对数学思想的感悟，对数学本身的悦纳。 三、表示中感悟，外化“线”的特征
师：你能试着画出直线、射线和线段吗？要让别人知道你画的哪一条是直线，哪一条是射线，哪一条是线段吗？
（学生尝试后交流）
师：同学们，在画的时候显然大家是碰到了困难的。确实不容易，要将无限长的线画到有限的纸张里，该怎么画呢？
方法1：射线一端画到纸张的边沿，直线两端画到纸张的边沿。
方法2：射线一端加上箭号，直线两端加上箭号。
方法3：射线一端加上省略号，直线两端加上省略号。
方法4：线段两端有端点的标记，射线一端有端点的标记，直线两端没有端点标记。
师：说一说，你喜欢哪一种表示方法。
生：我喜欢方法1，因为无限延长，所以应该画到边沿。
生：我觉得画到边沿也沒有无限长，我喜欢方法3，省略号表示一直延伸。
生：我觉得方法2好，加上箭号就很明显了。
师：有人喜欢方法4吗？（只有一人举手，教师请这位同学发言。）
生：我觉得这样就能分出什么线是线段，什么线是射线，什么线是直线了，还需要那么麻烦吗？
（学生看法不一，众说纷纭。）
师：想不想知道数学家是怎么画的？（想）就是这样画的（教师指“方法4”）。
（学生很讶异）
师：这个阻止线延伸的点叫作端点。说说线段、射线和直线分别有几个端点？
生：线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点。
师：直线还有一种不同的画法。（课件出示图1）你能读懂数学家的想法吗？
（图1）
生：表示这条线可以突破那两个点，无限延伸。
“无限长的线如何画到有限的纸张上？”这一充满矛盾的问题激起学生认知上的冲突，在这种充满挑战性的考验中，我们发现了学生巨大的可能性。他们创造性地用生活的思维（画到边沿），用不同学科的经验（省略号），用形象的符号（箭号），用数学的符号（端点）等独特的方式表示无限。在创造中学生方法不一却各有价值，在分享中学生读懂别人并反思自己，整个学习与分享的过程是迷人的。在充满挑战性的学习活动中，我们发现了儿童。
四、比较中概括，理解“线”的特征
课件出示：线段、射线和直线有什么相同点？有什么不同点？有什么联系？
组织全班同学独立思考一分钟后，再四人小组内交流。（按照三个问题的顺序有序交流。）
生：都是直直的。
生：它们都是线。
生：线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点。
生：线段长度是有限的，射线和直线的长度是无限的。
生：直线可以向两端无限延长，射线可以向一端无限延长，线段不能延长。
生：线段可以量出长度，射线和直线无法量出长度。
生：线段如果去掉一个端点就是射线，如果去掉两个端点就是直线。
师：这样说可能更好一些，线段如果去掉一个端点，让它沿一个方向无限延长，就成射线了。
生：在直线中间画一个点，两边就是两条射线。
师（在黑板上的直线上画一个点）：这样，这条线上的这个点和它右边的部分是一条射线，左边也是一条射线。
生：直线上画两个点，中间的部分是线段。
师（在直线上画两个点）：这两点之间的部分是线段。
师：线段和射线是它们所在直线的一部分。
（组织学生自学课本，认识线段、射线和直线的读法。）
系列问题的合并思考往往会形成学习的挑战。本环节教师将“线段、射线和直线有什么相同点？有什么不同点？有什么联系？”这三个问题一并抛给学生，让他们对系列的问题进行思考、讨论、交流。我们发现：学生个体的思考和表达往往呈现出无序的、跳跃的样态。而在群体交流中，由于教师的介入与引导，学生的交流可以从无序走向有序。这种充满挑战的系统性的思考有助于学生形成有序思考、有序表达的意识、能力和习惯。
五、操作中思考，深化“线”的认知
先想一想，再画一画：
1.一个点可以画几条直线？
2.过两个点可以画几条直线？（这两点如果离得很远呢？为什么？）
曹培英老师认为，过两点能且只能画一条直线，暗含着存在性和唯一性，有利于学生感受直线的本质特征。学生并不难完成该操作活动，但是对于“为什么只能画一条？”这一问题，学生的表达是有困难的。但是需要调整的一个观念是：有的问题，不能因为学生无法准确完整地回答就不问。笔者认为，想不出来也是想，想不出来一样可以滋养学生数学素养的成长，富有挑战性的问题的价值还在于此。
【关键词】认知不适；深度学习；线的认识
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）65-0055-03
【作者简介】李培芳，福建省厦门市华昌小学（福建厦门，361000）教导主任，高级教师，福建省数学学科带头人。
一、抽象与比较，初步感知“线”
师：同学们，今天我们要认识“线”，生活中见过线吗？
生：见过。
师：闭上眼睛，想象生活中各种各样的线，有时候闭上眼睛，你可以看到更多。
生：电线。
生：毛线。
生：天线。
生：地平线。
師：真好，同学们的头脑里有一个“线的世界”。
师：数学中的线和生活中的线会一样吗？
（学生众说纷纭。）
师（拿出一个盒子）：用生活的眼光看，这是一个盒子，没有线，用数学的眼光看……
生：有线，有4条线。
生：有8条！
师：都看到了吗？在哪儿呢？看来数学中的线和生活中的线有所不同啊！
（课件出示生活中的立体图形，而后抽象出线。）
数学上的线是高度抽象的，以至于在现实世界中找不到原型。这种水平的抽象小学生几乎是无法真正理解的。不过，教学应当尝试去触碰学生能接受的“上限”，谨慎地去触碰，不同水平的学生在这样的活动中会有不同的收获。教学中教师提出“用生活的眼光看，这显然只是一个盒子，没有线，不过，用数学的眼光看……”，这个比较还是精妙而妥帖的。比较中学生的认知失衡了，他们突然发现认知中的线和数学上的线有所不同，这种感受有助于他们感悟线的抽象性、数学的抽象性。
二、想象与分类，整体感知“线”
师：观察屏幕上的线，这些线有什么不同。
生：有直的，有弯的。
生：有长的，有短的。
屏幕出示：线有（曲直）；线有（长短）。
师：因为线有曲直，所以线分为直直的线和弯弯的线。这节课，我们只研究直直的线。（课件隐去曲线，留在屏幕上的是三条线段。）
师：想想，线有长短，可以把线怎样分类呢？
生：可以分成长长的线和短短的线。
生：还有一般长度的线。
生：还有很短很短的线。
生：那还有很长很长的线。
师：同学们真会想问题，我们要对线分类，到底是要对哪些线分类呢？是只对屏幕上的三条线分类吗？
生：不是的，是对很多线分类。
生：是要把所有的线分类。
师：这样，我们的心里就必须有整个线的世界。就像同学们说的，线还有很短很短的，比画一下。（学生比画）还有很长很长的，也比画一下。你能说一条很长很长的线吗？
生：从黑板的这边到那边。
生：从教室的前面到后面。
生：从教室到学校操场。
生：从教室到家里。
生：从厦门到北京。
生：从地球到太阳。（全体学生情绪激昂。）
师：这样，咱们不比了，安静地思考，你能说一条长度让人无法超越的线吗？
生：一万千米，哦，一亿千米长。
师：哈哈，显然会被超越，一亿千米再多一米的线就比你说的长了。
生：从宇宙这头到宇宙的那头。
师：哈哈，你从这头到那头，我两边都出头，是不是就比你说的长了。
生：无边无际的长。
师：啥意思？（学生不知如何表达）是不是这个意思，请看屏幕。
（课件出示一片星空，一条线向两端无限延伸。）
师：现在，如果按照长短将线分类，你想怎么分？
生：有头有尾的线分一类，没头没尾的线分一类。
师：想想，有第三类吗？
生：还有有头没尾的线。（课件出示射线）
师：想想，还有第四类吗？
生：还有没头有尾的线。（课件出示反方向的射线。）
生：这和前面那一条是一样的，只是方向不同。
师生小结：线分为无限长的线和有限长的线，无限长的线又分为没头没尾的线和有头没尾的线。
出示三个概念：线段、射线、直线。
师：同学们说说，哪个是哪个？
生：有头有尾的线是线段，有头没尾的线是射线，没头没尾的线是直线。
师：生活中你在哪里见过射线？哪里见过直线？（生答略）
在这一环节的学习中，学生遇到了相当大的困难。一方面，想象是不易的，但却是必要的。因为直线和射线存在于想象而不是现实。更多的教学是直接揭示直线和射线让学生想象。而本课意图让学生从“分类需要有一个线的世界”入手，让学生硬生生地“凭空”想象出直线和射线来，这种困难是加倍的。另一方面，分类是不易的，但却是有价值的。因为分类，线段、射线和直线的认知便成了结构化的认知；因为分类，学生能充分地领略数学分类思考的有序、全面与严谨。教师大胆引导学生思考“有让人无法超越的线吗？”“有第三类吗？”“有第四类吗？”……过程中，学生的认知状态是受阻的，然而当他们跨越阻隔获得成功后，那种感受却又是美妙的，我们将这种美妙的感受称为体验。这样的教学设计源于高立意的教学追求，追求的是学生对数学本质的理解，对数学思想的感悟，对数学本身的悦纳。 三、表示中感悟，外化“线”的特征
师：你能试着画出直线、射线和线段吗？要让别人知道你画的哪一条是直线，哪一条是射线，哪一条是线段吗？
（学生尝试后交流）
师：同学们，在画的时候显然大家是碰到了困难的。确实不容易，要将无限长的线画到有限的纸张里，该怎么画呢？
方法1：射线一端画到纸张的边沿，直线两端画到纸张的边沿。
方法2：射线一端加上箭号，直线两端加上箭号。
方法3：射线一端加上省略号，直线两端加上省略号。
方法4：线段两端有端点的标记，射线一端有端点的标记，直线两端没有端点标记。
师：说一说，你喜欢哪一种表示方法。
生：我喜欢方法1，因为无限延长，所以应该画到边沿。
生：我觉得画到边沿也沒有无限长，我喜欢方法3，省略号表示一直延伸。
生：我觉得方法2好，加上箭号就很明显了。
师：有人喜欢方法4吗？（只有一人举手，教师请这位同学发言。）
生：我觉得这样就能分出什么线是线段，什么线是射线，什么线是直线了，还需要那么麻烦吗？
（学生看法不一，众说纷纭。）
师：想不想知道数学家是怎么画的？（想）就是这样画的（教师指“方法4”）。
（学生很讶异）
师：这个阻止线延伸的点叫作端点。说说线段、射线和直线分别有几个端点？
生：线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点。
师：直线还有一种不同的画法。（课件出示图1）你能读懂数学家的想法吗？
（图1）
生：表示这条线可以突破那两个点，无限延伸。
“无限长的线如何画到有限的纸张上？”这一充满矛盾的问题激起学生认知上的冲突，在这种充满挑战性的考验中，我们发现了学生巨大的可能性。他们创造性地用生活的思维（画到边沿），用不同学科的经验（省略号），用形象的符号（箭号），用数学的符号（端点）等独特的方式表示无限。在创造中学生方法不一却各有价值，在分享中学生读懂别人并反思自己，整个学习与分享的过程是迷人的。在充满挑战性的学习活动中，我们发现了儿童。
四、比较中概括，理解“线”的特征
课件出示：线段、射线和直线有什么相同点？有什么不同点？有什么联系？
组织全班同学独立思考一分钟后，再四人小组内交流。（按照三个问题的顺序有序交流。）
生：都是直直的。
生：它们都是线。
生：线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点。
生：线段长度是有限的，射线和直线的长度是无限的。
生：直线可以向两端无限延长，射线可以向一端无限延长，线段不能延长。
生：线段可以量出长度，射线和直线无法量出长度。
生：线段如果去掉一个端点就是射线，如果去掉两个端点就是直线。
师：这样说可能更好一些，线段如果去掉一个端点，让它沿一个方向无限延长，就成射线了。
生：在直线中间画一个点，两边就是两条射线。
师（在黑板上的直线上画一个点）：这样，这条线上的这个点和它右边的部分是一条射线，左边也是一条射线。
生：直线上画两个点，中间的部分是线段。
师（在直线上画两个点）：这两点之间的部分是线段。
师：线段和射线是它们所在直线的一部分。
（组织学生自学课本，认识线段、射线和直线的读法。）
系列问题的合并思考往往会形成学习的挑战。本环节教师将“线段、射线和直线有什么相同点？有什么不同点？有什么联系？”这三个问题一并抛给学生，让他们对系列的问题进行思考、讨论、交流。我们发现：学生个体的思考和表达往往呈现出无序的、跳跃的样态。而在群体交流中，由于教师的介入与引导，学生的交流可以从无序走向有序。这种充满挑战的系统性的思考有助于学生形成有序思考、有序表达的意识、能力和习惯。
五、操作中思考，深化“线”的认知
先想一想，再画一画：
1.一个点可以画几条直线？
2.过两个点可以画几条直线？（这两点如果离得很远呢？为什么？）
曹培英老师认为，过两点能且只能画一条直线，暗含着存在性和唯一性，有利于学生感受直线的本质特征。学生并不难完成该操作活动，但是对于“为什么只能画一条？”这一问题，学生的表达是有困难的。但是需要调整的一个观念是：有的问题，不能因为学生无法准确完整地回答就不问。笔者认为，想不出来也是想，想不出来一样可以滋养学生数学素养的成长，富有挑战性的问题的价值还在于此。