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【摘 要】本文从光学、光信息科学类专业的必修课程——激光原理的关键知识点“激光光束质量”出发，详细分析了开设激光光束质量（M2因子）测量实验的必要性和可行性，尤其是在本科教学仪器设备等实验环境受限的情况下，如何有效开设该项实验。给出了一种可以依据客观条件方便地进行简化或丰富的实验体系结构，其将为学生动手能力和分析、解决问题的能力的培养提供有效的途径。
【关键词】激光 光束质量 M2因子 透镜变化
【中图分类号】TN241 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）12－0035－03
一、引 言
激光光束质量测量实验是激光原理与激光技术类课程常规配套的一项实验内容，可以利用高级的光束质量分析仪器对激光器出光光束的各类参数进行标定。在实际教学中易受到实验设备和实验环境的限制而无法开设，或仅对研究生等高年级学生开设。然而，该实验项目对于光学、光电科学相关专业学生的培养具有非常重要的理论意义与现实意义。它不但能帮助学生深入理解激光光束、直观认识激光光源与普通光源的差异，而且能培养和锻炼学生测试激光束相关参数的基本技能，使学生掌握简单实用的激光测试手段。这一测试手段的培养和掌握不仅有利于研究生在科研课题中的进一步发挥，也为直接参加工作的本科生在实际中独立完成相关测试奠定了基础。
鉴于以上原因，该实验在激光类相关课程中的开设十分必要，并且其在本科教学中的推广和普及也是不容忽视的。具体如何克服设备及实验环境的限制，使实验的开始更具有可操作性，还需要结合各学校的实际情况。下面以激光光束质量M2因子的测量为例，介绍一种测量激光光束质量参数的简单方法。实验中使用的仪器及设备都是光学基础类实验仪器，获取难度相对不高。避免了对高级光束质量分析仪的依赖。
二、实验原理
了解激光束特性是应用的前提，概括的说，光束强度、光束束宽、光束发散角以及瑞利长度等参数从不同方面表征了激光束的基本特性。
1．光束强度
通常所说的光强度（简称光强）是指单位面积上的平均光功率，或者说，是指光的平均能流密度，即单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积上的平均能量。光的最简单形式是单色的线偏振平面波，在均匀、无吸收的介质中，光强的横向分布一般是柱面对称的Gauss（高斯）分布：
（1）
式中，I0表示光轴（r＝0）处的强度，w定义为光束半径。
2．光束宽度（束宽）
在空间域中，光束宽度的常用定义有1/n定义、环围功率定义和二阶矩定义三种，［1］其中“1/n定義”，对旋转对称光束，是以在柱坐标系中光强分布曲线I（r）上最大值Imax的1/n处两点间距离之半为束宽（半径）w。
（2）
而对矩形对称的光束，则是在直角坐标系中x、y方向各自光强分布曲线上最大值1/n处两点距离之半为对应方向上的束宽wx、wy，满足：
（3）
（4）
常用的n值有e2和2，通常称为光束的1/e2束宽（we）和半峰值全宽（Full－Width－at－Half－Maximum－FWHM）（2wFWHM）。对高斯光束而言，其光束传播方向上，光束截面最小时的光束宽度为高斯光束的束腰。
3．光束远场发散角
激光远场发散角的大小决定了激光束可传输多远距离而不显著发散，它与可聚焦能量（功率）有关。设激光束沿z轴传输，不同位置的光束宽度为w（z），定义远场发散角半角θ。
（5）
与光束宽度定义一致，光束发散角也由1/n定义得到，对应于角度空间中光强下降至峰值1/n处两点之间的角度的一半。常用的是光强下降至1/e2时的远场发散角θ1/e2，或光强下降至峰值一半（1/2）时光束的远场发散角θFWHM。
4．瑞利（Rayleigh）长度
瑞利长度zR表示：沿光束传播方向光束直径（或半径）增长
为束腰直径（或半径）的 倍处距束腰位置的距离。基模高斯
光束的瑞利长度为：
（6）
5．激光光束质量M2因子
1988年，A. E. Siegman提出的M2因子这一参数克服了常用光束质量评价方法的局限，对激光光束的评价具有重要意义，其定义为：［2～3］
（7）
由于光束的束腰宽度和远场发散角的乘积也称为光束参数积，所以M2因子的物理意义为实际光束参数积与理想高斯光束光束参数积之比。
从（7）式可以看出，对于同一波长的激光，其M2因子和光束参数积成线性关系。M2因子最小值为1，对应于基膜（TEM00模）高斯光束。实际激光光束的M2因子（M2≥1）越接近于1，光束质量越好。
三、实验设计与内容
观察M2因子的定义，并将理想光束的光束参数积BPP0＝w0θ0＝λ/π代入定义式，可得：
（8）
式中，wm0为实际光束的束腰半径，θm为光束远场发散角半角。可见我们实验需要测得的量有两个，即光束的束腰宽度（半宽）wm0与远场发散角（半角）θm。
1．透镜变换
实际中，由于激光器光束束腰位置与激光器构造有关，往往不能进行直接测量得到wm0和θm的值。考虑到在激光光束传输的过程中，M2因子经过光学系统前后的数值不会发生任何变化，通常可以采用无畸变透镜变换的方式（变换前后光束参数积不变）将束腰导出到透镜后焦方，通过测量后焦方的光束参数，再借助透镜系统反向变换关系，间接获得实际激光光束的参数值（图1）。
图1 实际光束参数测量原理图
2．理想高斯光束的引入
对于实际的多横模激光器输出的光束，常需引入嵌入理想高斯光束的概念来讨论问题。设嵌入的TEM00模高斯光束（理想高斯光束）的束腰半径为w0，光传播方向上z（距离束腰的距离）处的光束宽度为w（z），远场发散角为θ0，与之对应的实际高阶高斯光束的三个物理量分别为wm0、wm（z）和θm，且存在以下关系：
（9）
3．M2因子的拟合计算
结合以上介绍的两种思路，我们利用透镜变换的原理，但避开透镜系统反向变换关系的推导与运用；同时引入理想高斯光束作为参考，以一种更简单、更直观的实验方法来拟合实际激光光束的M2因子。
对于基模（TEM00模）高斯光束，其传输方向上任意位置的光束宽度（光斑半径－圆柱对称）w（z）与光束束腰宽度w0的关系可以表示为：
（10）
式中，束宽及束腰均为1/e2定义（即光强度下降为峰值≈13.6%处的光束宽度）确定；z为光束宽度测量点距离束腰位置的距离，其值可正可负。
将（9）式中实际光束束腰宽度与理想高斯光束束腰宽度的关系代入（10）式，可将实际光束的光束宽度表示为：
（11）
其中，zR为实际光束的瑞利长度。式（11）即为本次实验测量、拟合计算M2因子的基本公式。
观察式（11）发现，M2因子的数值决定了待测光束的束宽（半径）wm（z）随测量点距束腰的间距z的变换关系（M2＝1时，光束宽度恒等于束腰，即光束为准直平行光）；也就是说，如果我们通过测量知道了wm（z）－z曲线（也称M2曲线）的变化规律，即可通过数学拟合得到待测激光光束的M2值。
4．光束宽度的测量
根据以上分析，要完成激光光束M2因子的测量需要测量光束经透镜变换后（后焦方）束腰两侧的多点光束宽度值，并对应其相对于束腰的位置z进行标定，才能得到wm（z）－z曲线。
一种方法是根据光场分布测束宽，即如果我们能够在光束的传播方向上直接探测到不同位置处激光光场的横向分布（光强），就可以根据各点的光场（光强）分布图，由光束宽度的定义确定对应的束宽大小。这种方法需要具有一定功率域值的CCD探测器和与其配合的光斑分析程序（可让学生自行编写程序）。采用这种方法时，要注意被测激光波长不可超过探测器的探测波长范围。
另一种方法是利用功率探测器，即在没有激光场分布探测装置的情况下，利用刀口法［4～5］通过检测透过刀口的激光功率的大小来确定光束宽度。由于高斯光束的光场振幅在横截面内的分布满足高斯函数，因此其沿光束传输方向经过孔径（遮挡物）时的功率透过率与孔径对光束的横向遮盖面积（半径－圆形光斑）之间满足一定的关系。刀口法就是利用这一规律，通过在探测位置上横向（垂直于光束传输方向）移动刀劈对激光光束进行遮挡，并同时测量透过刀口激光功率并计算其与总输入功率的比值，根据功率透过率的大小来确定刀口所在位置与光斑中心的间距得到光束宽度的。
四、基本实验装置
基本实验装置：①待测激光器；②变换透镜；③CCD摄像机（光场分布测束宽）/功率探测器（刀口法测束宽）；④导轨及调节架；⑤衰减器（组）；⑥计算机及数据处理工具；⑦光学平台。
图2 实验装置示意图（CCD探测光场横向光斑测束宽法）
五、实验步骤
第一，按照实验装置图搭建光路，注意调试光路同心，使安装在导轨及光学平台上的各光学器件的中心在同一直线上。
第二，打开计算机、启动CCD摄像机/功率探测器电源。
第三，初始功率值设为零后打开待测激光器电源。
第四，在导轨外一侧装上变换透镜，在变换后的光束束腰前后瑞利长度范围内外各选若干（至少五个）位置，测量光斑尺寸（光场分布法/刀口法），记录数据。需要注意的是，由于每个位置的光斑聚焦尺寸不同，最大光强有数量级的变化，为充分利用CCD/功率探测器的动态范围，在变换测量位置时，需要随时调整CCD探测器衰或调整探测器的增益。
第五，将多个位置测量完毕后，关闭激光器、CCD摄像机/功率探测器电源，用计算机对测量数据进行处理与拟合。
六、小 结
以上给出了使用常规光学测量仪器（透镜、功率探测器等）即可完成的激光光束质量M2因子测量实验的实验方法和具体操作步骤。从第3部分～第5部分的内容介绍中我们可以看到，本实验的开设过程中不需要使用价格较昂贵的激光光束质量分析仪，甚至不需要配备高精度、高阈值的CCD探測器和相关光斑分析软件，因此开设准备较容易。
同时，本实验的所有操作仪器和部件都将展示在学生面前，整个实验光路在测量过程中都是可以观察的（高级的光束分析仪CCD移动路径多为封闭不可见的），有利于学生认识实验测量系统，理解实验原理。另外，本实验得出最终测试结果的关键环节是数据拟合，这一过程可以让学生清晰地认识到光束质量M2曲线的形成过程，对M2因子的物理意义有更为深刻的体会。同时，数据拟合过程会使学生的数据处理能力得到锻炼，为他们今后在其他课程乃至学科内开展实验提供支持。
参考文献
1 吕百达.激光光学：光束描述、传输变换与光腔技术物理（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003：75～95
2 吕百达.关于激光光束质量若干问题的分析［J］.激光技术，1998（1）：14～17
3 黄忠伦、郭劲、付有余.评价激光光束质量的各种方法［J］.激光杂志，2004（3）：1～3
4 杨晓冬、邵建新、廖生鸿、谭锦业、周杰、蒋跃文.刀口法测量高斯光束光斑半径研究［J］.激光与红外，2009（8）：829～832
5 陆璇辉、陈许敏、张蕾、薛大建.刀口法测量高斯光束光斑尺寸的重新认识［J］.激光与红外，2002（3）：186～187
【关键词】激光 光束质量 M2因子 透镜变化
【中图分类号】TN241 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）12－0035－03
一、引 言
激光光束质量测量实验是激光原理与激光技术类课程常规配套的一项实验内容，可以利用高级的光束质量分析仪器对激光器出光光束的各类参数进行标定。在实际教学中易受到实验设备和实验环境的限制而无法开设，或仅对研究生等高年级学生开设。然而，该实验项目对于光学、光电科学相关专业学生的培养具有非常重要的理论意义与现实意义。它不但能帮助学生深入理解激光光束、直观认识激光光源与普通光源的差异，而且能培养和锻炼学生测试激光束相关参数的基本技能，使学生掌握简单实用的激光测试手段。这一测试手段的培养和掌握不仅有利于研究生在科研课题中的进一步发挥，也为直接参加工作的本科生在实际中独立完成相关测试奠定了基础。
鉴于以上原因，该实验在激光类相关课程中的开设十分必要，并且其在本科教学中的推广和普及也是不容忽视的。具体如何克服设备及实验环境的限制，使实验的开始更具有可操作性，还需要结合各学校的实际情况。下面以激光光束质量M2因子的测量为例，介绍一种测量激光光束质量参数的简单方法。实验中使用的仪器及设备都是光学基础类实验仪器，获取难度相对不高。避免了对高级光束质量分析仪的依赖。
二、实验原理
了解激光束特性是应用的前提，概括的说，光束强度、光束束宽、光束发散角以及瑞利长度等参数从不同方面表征了激光束的基本特性。
1．光束强度
通常所说的光强度（简称光强）是指单位面积上的平均光功率，或者说，是指光的平均能流密度，即单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积上的平均能量。光的最简单形式是单色的线偏振平面波，在均匀、无吸收的介质中，光强的横向分布一般是柱面对称的Gauss（高斯）分布：
（1）
式中，I0表示光轴（r＝0）处的强度，w定义为光束半径。
2．光束宽度（束宽）
在空间域中，光束宽度的常用定义有1/n定义、环围功率定义和二阶矩定义三种，［1］其中“1/n定義”，对旋转对称光束，是以在柱坐标系中光强分布曲线I（r）上最大值Imax的1/n处两点间距离之半为束宽（半径）w。
（2）
而对矩形对称的光束，则是在直角坐标系中x、y方向各自光强分布曲线上最大值1/n处两点距离之半为对应方向上的束宽wx、wy，满足：
（3）
（4）
常用的n值有e2和2，通常称为光束的1/e2束宽（we）和半峰值全宽（Full－Width－at－Half－Maximum－FWHM）（2wFWHM）。对高斯光束而言，其光束传播方向上，光束截面最小时的光束宽度为高斯光束的束腰。
3．光束远场发散角
激光远场发散角的大小决定了激光束可传输多远距离而不显著发散，它与可聚焦能量（功率）有关。设激光束沿z轴传输，不同位置的光束宽度为w（z），定义远场发散角半角θ。
（5）
与光束宽度定义一致，光束发散角也由1/n定义得到，对应于角度空间中光强下降至峰值1/n处两点之间的角度的一半。常用的是光强下降至1/e2时的远场发散角θ1/e2，或光强下降至峰值一半（1/2）时光束的远场发散角θFWHM。
4．瑞利（Rayleigh）长度
瑞利长度zR表示：沿光束传播方向光束直径（或半径）增长
为束腰直径（或半径）的 倍处距束腰位置的距离。基模高斯
光束的瑞利长度为：
（6）
5．激光光束质量M2因子
1988年，A. E. Siegman提出的M2因子这一参数克服了常用光束质量评价方法的局限，对激光光束的评价具有重要意义，其定义为：［2～3］
（7）
由于光束的束腰宽度和远场发散角的乘积也称为光束参数积，所以M2因子的物理意义为实际光束参数积与理想高斯光束光束参数积之比。
从（7）式可以看出，对于同一波长的激光，其M2因子和光束参数积成线性关系。M2因子最小值为1，对应于基膜（TEM00模）高斯光束。实际激光光束的M2因子（M2≥1）越接近于1，光束质量越好。
三、实验设计与内容
观察M2因子的定义，并将理想光束的光束参数积BPP0＝w0θ0＝λ/π代入定义式，可得：
（8）
式中，wm0为实际光束的束腰半径，θm为光束远场发散角半角。可见我们实验需要测得的量有两个，即光束的束腰宽度（半宽）wm0与远场发散角（半角）θm。
1．透镜变换
实际中，由于激光器光束束腰位置与激光器构造有关，往往不能进行直接测量得到wm0和θm的值。考虑到在激光光束传输的过程中，M2因子经过光学系统前后的数值不会发生任何变化，通常可以采用无畸变透镜变换的方式（变换前后光束参数积不变）将束腰导出到透镜后焦方，通过测量后焦方的光束参数，再借助透镜系统反向变换关系，间接获得实际激光光束的参数值（图1）。
图1 实际光束参数测量原理图
2．理想高斯光束的引入
对于实际的多横模激光器输出的光束，常需引入嵌入理想高斯光束的概念来讨论问题。设嵌入的TEM00模高斯光束（理想高斯光束）的束腰半径为w0，光传播方向上z（距离束腰的距离）处的光束宽度为w（z），远场发散角为θ0，与之对应的实际高阶高斯光束的三个物理量分别为wm0、wm（z）和θm，且存在以下关系：
（9）
3．M2因子的拟合计算
结合以上介绍的两种思路，我们利用透镜变换的原理，但避开透镜系统反向变换关系的推导与运用；同时引入理想高斯光束作为参考，以一种更简单、更直观的实验方法来拟合实际激光光束的M2因子。
对于基模（TEM00模）高斯光束，其传输方向上任意位置的光束宽度（光斑半径－圆柱对称）w（z）与光束束腰宽度w0的关系可以表示为：
（10）
式中，束宽及束腰均为1/e2定义（即光强度下降为峰值≈13.6%处的光束宽度）确定；z为光束宽度测量点距离束腰位置的距离，其值可正可负。
将（9）式中实际光束束腰宽度与理想高斯光束束腰宽度的关系代入（10）式，可将实际光束的光束宽度表示为：
（11）
其中，zR为实际光束的瑞利长度。式（11）即为本次实验测量、拟合计算M2因子的基本公式。
观察式（11）发现，M2因子的数值决定了待测光束的束宽（半径）wm（z）随测量点距束腰的间距z的变换关系（M2＝1时，光束宽度恒等于束腰，即光束为准直平行光）；也就是说，如果我们通过测量知道了wm（z）－z曲线（也称M2曲线）的变化规律，即可通过数学拟合得到待测激光光束的M2值。
4．光束宽度的测量
根据以上分析，要完成激光光束M2因子的测量需要测量光束经透镜变换后（后焦方）束腰两侧的多点光束宽度值，并对应其相对于束腰的位置z进行标定，才能得到wm（z）－z曲线。
一种方法是根据光场分布测束宽，即如果我们能够在光束的传播方向上直接探测到不同位置处激光光场的横向分布（光强），就可以根据各点的光场（光强）分布图，由光束宽度的定义确定对应的束宽大小。这种方法需要具有一定功率域值的CCD探测器和与其配合的光斑分析程序（可让学生自行编写程序）。采用这种方法时，要注意被测激光波长不可超过探测器的探测波长范围。
另一种方法是利用功率探测器，即在没有激光场分布探测装置的情况下，利用刀口法［4～5］通过检测透过刀口的激光功率的大小来确定光束宽度。由于高斯光束的光场振幅在横截面内的分布满足高斯函数，因此其沿光束传输方向经过孔径（遮挡物）时的功率透过率与孔径对光束的横向遮盖面积（半径－圆形光斑）之间满足一定的关系。刀口法就是利用这一规律，通过在探测位置上横向（垂直于光束传输方向）移动刀劈对激光光束进行遮挡，并同时测量透过刀口激光功率并计算其与总输入功率的比值，根据功率透过率的大小来确定刀口所在位置与光斑中心的间距得到光束宽度的。
四、基本实验装置
基本实验装置：①待测激光器；②变换透镜；③CCD摄像机（光场分布测束宽）/功率探测器（刀口法测束宽）；④导轨及调节架；⑤衰减器（组）；⑥计算机及数据处理工具；⑦光学平台。
图2 实验装置示意图（CCD探测光场横向光斑测束宽法）
五、实验步骤
第一，按照实验装置图搭建光路，注意调试光路同心，使安装在导轨及光学平台上的各光学器件的中心在同一直线上。
第二，打开计算机、启动CCD摄像机/功率探测器电源。
第三，初始功率值设为零后打开待测激光器电源。
第四，在导轨外一侧装上变换透镜，在变换后的光束束腰前后瑞利长度范围内外各选若干（至少五个）位置，测量光斑尺寸（光场分布法/刀口法），记录数据。需要注意的是，由于每个位置的光斑聚焦尺寸不同，最大光强有数量级的变化，为充分利用CCD/功率探测器的动态范围，在变换测量位置时，需要随时调整CCD探测器衰或调整探测器的增益。
第五，将多个位置测量完毕后，关闭激光器、CCD摄像机/功率探测器电源，用计算机对测量数据进行处理与拟合。
六、小 结
以上给出了使用常规光学测量仪器（透镜、功率探测器等）即可完成的激光光束质量M2因子测量实验的实验方法和具体操作步骤。从第3部分～第5部分的内容介绍中我们可以看到，本实验的开设过程中不需要使用价格较昂贵的激光光束质量分析仪，甚至不需要配备高精度、高阈值的CCD探測器和相关光斑分析软件，因此开设准备较容易。
同时，本实验的所有操作仪器和部件都将展示在学生面前，整个实验光路在测量过程中都是可以观察的（高级的光束分析仪CCD移动路径多为封闭不可见的），有利于学生认识实验测量系统，理解实验原理。另外，本实验得出最终测试结果的关键环节是数据拟合，这一过程可以让学生清晰地认识到光束质量M2曲线的形成过程，对M2因子的物理意义有更为深刻的体会。同时，数据拟合过程会使学生的数据处理能力得到锻炼，为他们今后在其他课程乃至学科内开展实验提供支持。
参考文献
1 吕百达.激光光学：光束描述、传输变换与光腔技术物理（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003：75～95
2 吕百达.关于激光光束质量若干问题的分析［J］.激光技术，1998（1）：14～17
3 黄忠伦、郭劲、付有余.评价激光光束质量的各种方法［J］.激光杂志，2004（3）：1～3
4 杨晓冬、邵建新、廖生鸿、谭锦业、周杰、蒋跃文.刀口法测量高斯光束光斑半径研究［J］.激光与红外，2009（8）：829～832
5 陆璇辉、陈许敏、张蕾、薛大建.刀口法测量高斯光束光斑尺寸的重新认识［J］.激光与红外，2002（3）：186～187