图1
　　题目如图1，在一条直线l的一侧画一个半圆Γ，分别过半圆Γ上两点C，D作Γ的切线与l交于点B，A且使Γ的圆心在线段AB上，AC与BD交于点E，过E作EF⊥l于点F.求证：EF平分∠CFD.
　　这是第35届国际数学奥林匹克的一道预选题.
　　笔者通过探究，发现了几个结论，现介绍如下.
　　一、对预选题的探究
　　在预选题中，A，B是半圆的两切线与直线l的交点，有EF平分∠CFD.笔者心里就想，如果改变条件，假设A，B是半圆与直线l的交点，是否也会有某种结论呢？经过探究，得到如下结论.
　　图2
　　定理1如图2，A，B是圆O：x2+y2=r2与x轴的两交点，C，D是圆上异于A，B的任意两点.分别过C，D作圆的切线交于点P，直线AC，BD交于点E，直线AD，BC交于点F，则：
　　（1）PE⊥x轴；
　　（2）F在直线PE上；
　　（3）P是线段EF的中点.
　　证明：（1）设P（x0，y0），C（rcosα，rsinα），D（rcosβ，rsinβ），则切线PC，PD的方程分别为rcosα·x+rsinα·y=r2，rcosβ·x+rsinβ·y=r2.
　　因为点P（x0，y0）在两切线上，
　　所以cosα·x0+sinα·y0=r
　　cosβ·x0+sinβ·y0=r，
　　消去y0，得sinαsinβ=r-cosα·x0r-cosβ·x0，
　　解得x0=rcosα+β2cosα-β2.
　　易知A（-r，0），B（r，0），
　　于是直线AC，BD的方程分别为y=rsinαrcosα+r（x+r），y=rsinβrcosβ-r（x-r），
　　两者联立，得sinαcosα+1（x+r）=sinβcosβ-1（x-r），
　　解得xE=rcosα+β2cosα-β2，
　　所以点P，E的横坐标相等，
　　所以PE⊥x轴.
　　（2）因为直线AD，BC的方程分别为y=rsinβrcosβ+r（x+r），y=rsinαrcosα-r（x-r），
　　所以两者联立，得sinβcosβ+1（x+r）=sinαcosα-1（x-r），
　　解得xF=rcosα+β2cosα-β2.
　　所以F的横坐标为rcosα+β2cosα-β2，
　　所以点F在直线PE上.
　　（3）因为E在直线AC上，
　　所以yE=rsinαrcosα+r（xE+r）.
　　因为xE=rcosα+β2cosα-β2，
　　所以yE=2rsinα2cosβ2cosα-β2.
　　同理可得yF=2rcosα2sinβ2cosα-β2，
　　所以yE+yF=2rsinα+β2cosα-β2.
　　因为点P在切线PC上，
　　所以cosα·x0+sinα·y0=r.
　　因为x0=rcosα+β2cosα-β2，
　　所以y0=rsinα+β2cosα-β2，
　　所以yE+yF=2y0，
　　所以P是线段EF的中点.
　　二、对预选题的探究的推广
　　我们知道，圆与圆锥曲线有许多类似的地方，圆中的很多性质可以推广到圆锥曲线中，那么上述探究能否推广到圆锥曲线中呢？于是，经过一番探究，又得到如下结论.
　　图3
　　定理2如图3，已知A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的长轴两端点，C，D是椭圆上异于A，B的任意两点.分别过C，D作椭圆的切线交于点P，直线AC，BD交于点E，直线AD，BC交于点F，则：
　　（1）PE⊥x轴；
　　（2）F在直线PE上；
　　（3）P是线段EF的中点.
　　图4
　　定理3如图4，已知A，B是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的实轴两端点，C，D是双曲线上异于A，B的任意两点.分别过C，D作双曲线的切线交于点P，直线AC，BD交于点E，直线AD，BC交于点F，则：
　　（1）PE⊥x轴；
　　（2）F在直线PE上；
　　（3）P是线段EF的中点.
　　图5
　　定理4如图5，已知C，D是抛物线y2=2px（p>0）上异于顶点O的任意两点，分别过C，D作抛物线的切线交于点P.过D作x轴的平行线交直线OC于点E，过C作x轴的平行线交直线OD于点F，则：
　　（1）PE⊥x轴；
　　（2）F在直线PE上；
　　（3）P是线段EF的中点.