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摘 要： 本文就基于MPCK视角下《分式》的学习给予详细阐述，以舒尔曼提出PCK三种核心要素框架，分析“分式概念、分式有意义、无意义、分式的值为零的学习”，并以此说明数学教师所应具备的MPCK。
关键词： 分式 PCK 有意义 无意义
PCK是学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge）的简称，最早是由美国舒尔曼（Schulman，L.S）教授于1986年提出的。他认为这种知识是学科知识在教学应用中的转换形式，是特定的内容与教学法的整合或转换，是教师独特的知识领域，是他们专业理解的特殊形式。具体来说，就是“对于一个人的学科领域中最一般的要教授的内容，表达那些概念的最有用的形式，最有效的比喻、说明、例子、解释以及演示——一句话，就是使人易于懂得该学科内容的表达和阐述方式”，它还包括“知道不同年龄和背景的学生在学习那些最经常教授的课题时已具有的一些日常概念和先入之见，这些日常概念和先入之见会使具体内容的学习变得容易或困难。”[1] 根据舒尔曼的观点，PCK是一种实用性知识，它的核心要素有：一是直面学生教学如何构架和呈现学科内容知识；二是有关学生在学习具体内容时可能拥有的共同的概念、误解和困难的知识；三是在具体教学情况下能满足学生学习需求的具体教学策略等。若结合数学学科探讨PCK，即为MPCK（Mathematical Pedagogical Content Knowledge），我们称之为“数学教学内容知识”。下面以舒尔曼提出PCK三种核心要素框架，分析“分式的学习”，并以此说明数学教师所应具备的MPCK。
一、 直面学生教学如何构架和呈现学科内容的知识
课堂教学第一部分：提出问题，创设情境。
（1） A教师的教学设计
同学们，只要你留下观察，你会发现生活中处处都有数学。前段时间老师和大家一起去溱湖湿地公园参加社会实践活动，在这个过程中要利用数学知识解决哪些问题呢？
第一步：坐车去溱湖湿地公园
正衡中学与溱湖公园的距离为138公里，汽车平均速度为75千米/小时，约多少小时可以到达？
思考：若正衡中学与溱湖公园的距离为a公里，汽车平均速度为b千米/小时，约多少小时可以到达？
第二步：买溱湖公园门票
门票价格：学生票：60元，成人票：80元；我们有a位同学，b位老师，买门票共需多少钱？平均每张门票多少钱？
第三步：参观
某小组租用了一艘小船在湖上游玩，若一艘小船1小时的租金是100元，该小组有x人，平均每人花多少钱？
在溱湖公园里，大家买了些纪念品，总共花了m元，平均每人花了多少钱？
从表面上看，两位老师都是让学生从生活中实际问题中列出代数式，并观察代数式的特征，从而归纳分式的概念。相比而言，A教师从学生经历过的实际问题出发，让学生在情感上容易产生共鸣，更能让学生尽快进入学习主题。由于学生对制衣厂并没有切身的体会，因此B教师的这个引入稍显突兀，不能很好地激发学生的学习兴趣。
课堂教学第二部分：新课——类比分数得到分式的概念。
A教师和B教师都是让学生观察列出的代数式的共同特，类比分数的概念，对比整式的概念，从而归纳出分式的概念。
（1）学生都能说出，上述代数式共同特征有：类似与分数的形式，分子分母都是整式，分母中含有字母。
（2）对比整式：整式的分母中不含字母，分式的分母中含有字母。
思考：a的值可以任意取吗？
学生类比分数：由于零不能做除数，因此分式和分数一样，分母都不能为零。
B教师的例题是：例题2：下列分式何时无意义、有意义？
两位老师的选题都是为了告诉学生分式的分母不能为零，否则就无意义。但A老师从求分式的值的提问中，让学生通过思考，类比分数中分母不为零，得出若分式的分母为零，分式无意义，分式的分母不为零，分式有意义。B教师是直接提出分式有意义、无意义，这样就不能很好地体现类比的数学思想。
二、有关学生在学习具体内容时可能拥有的共同的概念、误解和困难的知识
学生已有的共同的概念：
（1）分数、整式的概念。
（2）用字母表示数，会把除号改成分数线的形式。
三、在具体教学情况下能满足学生学习需求的具体教学策略
1.在学习中学生通过自主探究、小组合作获得了成功，此时，学生内心充满了喜悦，急切地想与大家分享。此时教师要给时间、给机会让学生回答。这也是学生小结、反思的一个过程。同时，通过这个过程，学生的表达能力、数学语言的组织能力得到了很好的锻炼，自信心也得到了很好的培养。
2.在教学过程中要把数学思想方法渗透给学生。本节课主要运用了对比和类比的数学思想方法。要引导学生在学习一个新的概念前，要类比于前面所学过的知识，比如分式和分数。在学习一个新的概念后，要对比于和该知识点相关的知识，比如整式和分式，这样学生对分式概念的把握会更清晰。
自2005年以来，PCK日益成为我国教学研究和教师教育研究的热点问题。希望更多的教师在平时的教学中多动脑、多思考，增强自己的PCK，让教师的教学和学生的学习充满乐趣。
参考文献：
[1]杨小丽.勾股定理的PCK内涵解析.初中数学教与学，2011（6）.
[2]田军.新手与专家数学教师教学内容知识的对比研究.中学数学杂志，2009（10）.
[3]刘璇燕.国内关于学科教学知识（PCK）的研究综述及其对师资培训的启示.中学数学杂志，2010（12）.
关键词： 分式 PCK 有意义 无意义
PCK是学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge）的简称，最早是由美国舒尔曼（Schulman，L.S）教授于1986年提出的。他认为这种知识是学科知识在教学应用中的转换形式，是特定的内容与教学法的整合或转换，是教师独特的知识领域，是他们专业理解的特殊形式。具体来说，就是“对于一个人的学科领域中最一般的要教授的内容，表达那些概念的最有用的形式，最有效的比喻、说明、例子、解释以及演示——一句话，就是使人易于懂得该学科内容的表达和阐述方式”，它还包括“知道不同年龄和背景的学生在学习那些最经常教授的课题时已具有的一些日常概念和先入之见，这些日常概念和先入之见会使具体内容的学习变得容易或困难。”[1] 根据舒尔曼的观点，PCK是一种实用性知识，它的核心要素有：一是直面学生教学如何构架和呈现学科内容知识；二是有关学生在学习具体内容时可能拥有的共同的概念、误解和困难的知识；三是在具体教学情况下能满足学生学习需求的具体教学策略等。若结合数学学科探讨PCK，即为MPCK（Mathematical Pedagogical Content Knowledge），我们称之为“数学教学内容知识”。下面以舒尔曼提出PCK三种核心要素框架，分析“分式的学习”，并以此说明数学教师所应具备的MPCK。
一、 直面学生教学如何构架和呈现学科内容的知识
课堂教学第一部分：提出问题，创设情境。
（1） A教师的教学设计
同学们，只要你留下观察，你会发现生活中处处都有数学。前段时间老师和大家一起去溱湖湿地公园参加社会实践活动，在这个过程中要利用数学知识解决哪些问题呢？
第一步：坐车去溱湖湿地公园
正衡中学与溱湖公园的距离为138公里，汽车平均速度为75千米/小时，约多少小时可以到达？
思考：若正衡中学与溱湖公园的距离为a公里，汽车平均速度为b千米/小时，约多少小时可以到达？
第二步：买溱湖公园门票
门票价格：学生票：60元，成人票：80元；我们有a位同学，b位老师，买门票共需多少钱？平均每张门票多少钱？
第三步：参观
某小组租用了一艘小船在湖上游玩，若一艘小船1小时的租金是100元，该小组有x人，平均每人花多少钱？
在溱湖公园里，大家买了些纪念品，总共花了m元，平均每人花了多少钱？
从表面上看，两位老师都是让学生从生活中实际问题中列出代数式，并观察代数式的特征，从而归纳分式的概念。相比而言，A教师从学生经历过的实际问题出发，让学生在情感上容易产生共鸣，更能让学生尽快进入学习主题。由于学生对制衣厂并没有切身的体会，因此B教师的这个引入稍显突兀，不能很好地激发学生的学习兴趣。
课堂教学第二部分：新课——类比分数得到分式的概念。
A教师和B教师都是让学生观察列出的代数式的共同特，类比分数的概念，对比整式的概念，从而归纳出分式的概念。
（1）学生都能说出，上述代数式共同特征有：类似与分数的形式，分子分母都是整式，分母中含有字母。
（2）对比整式：整式的分母中不含字母，分式的分母中含有字母。
思考：a的值可以任意取吗？
学生类比分数：由于零不能做除数，因此分式和分数一样，分母都不能为零。
B教师的例题是：例题2：下列分式何时无意义、有意义？
两位老师的选题都是为了告诉学生分式的分母不能为零，否则就无意义。但A老师从求分式的值的提问中，让学生通过思考，类比分数中分母不为零，得出若分式的分母为零，分式无意义，分式的分母不为零，分式有意义。B教师是直接提出分式有意义、无意义，这样就不能很好地体现类比的数学思想。
二、有关学生在学习具体内容时可能拥有的共同的概念、误解和困难的知识
学生已有的共同的概念：
（1）分数、整式的概念。
（2）用字母表示数，会把除号改成分数线的形式。
三、在具体教学情况下能满足学生学习需求的具体教学策略
1.在学习中学生通过自主探究、小组合作获得了成功，此时，学生内心充满了喜悦，急切地想与大家分享。此时教师要给时间、给机会让学生回答。这也是学生小结、反思的一个过程。同时，通过这个过程，学生的表达能力、数学语言的组织能力得到了很好的锻炼，自信心也得到了很好的培养。
2.在教学过程中要把数学思想方法渗透给学生。本节课主要运用了对比和类比的数学思想方法。要引导学生在学习一个新的概念前，要类比于前面所学过的知识，比如分式和分数。在学习一个新的概念后，要对比于和该知识点相关的知识，比如整式和分式，这样学生对分式概念的把握会更清晰。
自2005年以来，PCK日益成为我国教学研究和教师教育研究的热点问题。希望更多的教师在平时的教学中多动脑、多思考，增强自己的PCK，让教师的教学和学生的学习充满乐趣。
参考文献：
[1]杨小丽.勾股定理的PCK内涵解析.初中数学教与学，2011（6）.
[2]田军.新手与专家数学教师教学内容知识的对比研究.中学数学杂志，2009（10）.
[3]刘璇燕.国内关于学科教学知识（PCK）的研究综述及其对师资培训的启示.中学数学杂志，2010（12）.