论文部分内容阅读
【摘要】在初等数学书刊中，有关抛物线开口的比较都是定性化的描述，即：抛物线解析式二次项系数绝对值越大，开口越小;反之，开口越大.对于抛物线开口大小的量化问题尚未见报道，也就是当解析式给定后，如何判断一条抛物线开口是另一条的几倍或几分之几，或者如何判定两条抛物线在几何形状上全等？基于这些问题，提出抛物线开度的定义，推导出抛物线开度的计算公式;举例说明这一新的概念在与抛物线有关的问题求解中的具体应用.建议在今后的初等数学书刊编辑中引入该概念，以加深学生对抛物线性质的理解.
【关键词】抛物线;开度;计算公式;应用
初等数学中函数及其图像的理解对学生而言比较抽象，尤其涉及函数y=ax2 bx c时，都知道其图像为抛物线，然而当a，b，c变化时，函数的图像如何变化？对于形如y=kx b的函数，可以说抛开直线的函数表达形式，单纯就其欧几里得几何形状而言，直线只有一种，即平面或空间内不同位置的直线经过平移或旋转后均可重合.然而针对抛物线能这么判断吗？抛物线重合或就其几何性状来讲全等的条件是什么？怎样量化一条抛物线开口大小是另一条的几倍或几分之几？在初等数学教材及著作中，对于y=ax2这样的函数仅表明：当|a|越大时其图像开口越小，|a|越小时开口越大. 可见，目前对抛物线开口大小仍处于描述或定性表述阶段.那么抛物线开口大小如何定量表述呢？怎么证明当|a|相等时，两条抛物线单纯就其几何形状而言一模一样（即可以重合到一起或简称全等）？
鉴于以上问题，特引入抛物线开度的定义，并推导出开度的计算公式，最后简要说明这一新的概念引入后的具体应用.建议在今后初等数学书刊编辑中对该定义给予推广和应用.
一、抛物线开度的定义
如果要比较两条抛物线开口的大小，唯一的方法就是让其顶点和对称轴分别重合，开口朝向同一方向，然后从对称轴上任取一点，过该点作垂直于抛物线对称轴的直线，分别与两条抛物线交于两点，比较这条直线被两条抛物线截得的线段长度，开口的大小便可一目了然（图1），当截得的线段相等时，两条抛物线必然一模一样.
图1 抛物线开口大小比较的思路
故得衡量抛物线开口大小的“抛物线开度”定义如下：对于解析式为y=ax2 bx c的抛物线，在其对称轴上任取一点T，过T作对称轴的垂线，与抛物线交于两点A和B，设抛物线的顶点为M（图2），则将|AB|2|TM|称之为抛物线的开度，并以σ表示，即σ=|AB|2|TM|.
二、抛物线开度公式的推导
如图2，作y=ax2 bx c的图像，显然其对称轴方程为x=-b2a，则顶点M的坐标为-b2a，-b2-4ac4a，过T点垂直于对称轴的直线必然平行于x轴，T的坐标为（-b2a，t），则该垂线解析式为y=t，它与抛物线两个交点分别为A（x1，t）和B（x2，t），可知x1和x2是方程ax2 bx c=t的两个解.
图2 抛物线开度定义图示
即：x1=-b-b2-4a（c-t）2a，
x2=-b b2-4a（c-t）2a，
|AB|=|x2-x1|=-b b2-4a（c-t）2a-
-b-b2-4a（c-t）2a=b2-4a（c-t）a，
|TM|=t-（-b2-4ac4a）=b2-4a（c-t）4a，
故可知σ=|AB|2|TM|=b2-4a（c-t）a2b2-4a（c-t）4a=4|a|.
可见：抛物线的开度与所选T点没有任何关系，只与解析式二次项的系数有关，而且当二次项系数一定时，其开度为定值;如果σ相等，那么两条抛物线几何形状相同，亦即可以相互重合或称作全等.
三、抛物线开度的应用
1.比较任意两条抛物线开口的大小
对于任意的两条抛物线而言，比如：A1x2 B1x C1y D1=0和A2x2 B2x C2y D2=0 （A1，A2，C1，C2均不等于0），要比较它们开口大小，首先将其一般式分别变形如下：
y=-A1C1x2-B1C1x-D1C1，①
y=-A2C2x2-B2C2x-D2C2.②
可知方程①和②的二次项的系数分别为：-A1C1和-A2C2.
由上节推导的抛物线开度公式得：
σ1=4C1A1;σ2=4C2A2
比较σ1和σ2的大小，便知两条抛物线开口的大小.
2.在与抛物线有关的解析几何问题求解中的应用
例题：已知抛物线y=ax2 bx-c与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且x21 x22=269，又知另一条抛物线y=3（x-1）2，问后一条抛物线向上平移几个坐标单位能和y=ax2 bx-c的图像重合？
解 将y=-3（x-1）2的右边展开，得：
y=-3x2 6x-3.③
③式的图像要平移后和y=ax2 bx-c的图像重合，那说明这两条抛物线几何形状相同，即它们开度相等，且开口朝向相同，所以可知：
a=-3.④
由原题知，仅是上移后就重合，说明两条抛物线对称轴重合，即它们对称轴方程相同，而对称轴方程为：x=-b2a，既然二次项系数a都为-3，那么一次项系数b也相等，即：
b=6.⑤
又因为x1和x2是ax2 bx-c=0的两个根，所以：
x1 x2=-ba
【关键词】抛物线;开度;计算公式;应用
初等数学中函数及其图像的理解对学生而言比较抽象，尤其涉及函数y=ax2 bx c时，都知道其图像为抛物线，然而当a，b，c变化时，函数的图像如何变化？对于形如y=kx b的函数，可以说抛开直线的函数表达形式，单纯就其欧几里得几何形状而言，直线只有一种，即平面或空间内不同位置的直线经过平移或旋转后均可重合.然而针对抛物线能这么判断吗？抛物线重合或就其几何性状来讲全等的条件是什么？怎样量化一条抛物线开口大小是另一条的几倍或几分之几？在初等数学教材及著作中，对于y=ax2这样的函数仅表明：当|a|越大时其图像开口越小，|a|越小时开口越大. 可见，目前对抛物线开口大小仍处于描述或定性表述阶段.那么抛物线开口大小如何定量表述呢？怎么证明当|a|相等时，两条抛物线单纯就其几何形状而言一模一样（即可以重合到一起或简称全等）？
鉴于以上问题，特引入抛物线开度的定义，并推导出开度的计算公式，最后简要说明这一新的概念引入后的具体应用.建议在今后初等数学书刊编辑中对该定义给予推广和应用.
一、抛物线开度的定义
如果要比较两条抛物线开口的大小，唯一的方法就是让其顶点和对称轴分别重合，开口朝向同一方向，然后从对称轴上任取一点，过该点作垂直于抛物线对称轴的直线，分别与两条抛物线交于两点，比较这条直线被两条抛物线截得的线段长度，开口的大小便可一目了然（图1），当截得的线段相等时，两条抛物线必然一模一样.
图1 抛物线开口大小比较的思路
故得衡量抛物线开口大小的“抛物线开度”定义如下：对于解析式为y=ax2 bx c的抛物线，在其对称轴上任取一点T，过T作对称轴的垂线，与抛物线交于两点A和B，设抛物线的顶点为M（图2），则将|AB|2|TM|称之为抛物线的开度，并以σ表示，即σ=|AB|2|TM|.
二、抛物线开度公式的推导
如图2，作y=ax2 bx c的图像，显然其对称轴方程为x=-b2a，则顶点M的坐标为-b2a，-b2-4ac4a，过T点垂直于对称轴的直线必然平行于x轴，T的坐标为（-b2a，t），则该垂线解析式为y=t，它与抛物线两个交点分别为A（x1，t）和B（x2，t），可知x1和x2是方程ax2 bx c=t的两个解.
图2 抛物线开度定义图示
即：x1=-b-b2-4a（c-t）2a，
x2=-b b2-4a（c-t）2a，
|AB|=|x2-x1|=-b b2-4a（c-t）2a-
-b-b2-4a（c-t）2a=b2-4a（c-t）a，
|TM|=t-（-b2-4ac4a）=b2-4a（c-t）4a，
故可知σ=|AB|2|TM|=b2-4a（c-t）a2b2-4a（c-t）4a=4|a|.
可见：抛物线的开度与所选T点没有任何关系，只与解析式二次项的系数有关，而且当二次项系数一定时，其开度为定值;如果σ相等，那么两条抛物线几何形状相同，亦即可以相互重合或称作全等.
三、抛物线开度的应用
1.比较任意两条抛物线开口的大小
对于任意的两条抛物线而言，比如：A1x2 B1x C1y D1=0和A2x2 B2x C2y D2=0 （A1，A2，C1，C2均不等于0），要比较它们开口大小，首先将其一般式分别变形如下：
y=-A1C1x2-B1C1x-D1C1，①
y=-A2C2x2-B2C2x-D2C2.②
可知方程①和②的二次项的系数分别为：-A1C1和-A2C2.
由上节推导的抛物线开度公式得：
σ1=4C1A1;σ2=4C2A2
比较σ1和σ2的大小，便知两条抛物线开口的大小.
2.在与抛物线有关的解析几何问题求解中的应用
例题：已知抛物线y=ax2 bx-c与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且x21 x22=269，又知另一条抛物线y=3（x-1）2，问后一条抛物线向上平移几个坐标单位能和y=ax2 bx-c的图像重合？
解 将y=-3（x-1）2的右边展开，得：
y=-3x2 6x-3.③
③式的图像要平移后和y=ax2 bx-c的图像重合，那说明这两条抛物线几何形状相同，即它们开度相等，且开口朝向相同，所以可知：
a=-3.④
由原题知，仅是上移后就重合，说明两条抛物线对称轴重合，即它们对称轴方程相同，而对称轴方程为：x=-b2a，既然二次项系数a都为-3，那么一次项系数b也相等，即：
b=6.⑤
又因为x1和x2是ax2 bx-c=0的两个根，所以：
x1 x2=-ba