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观察是认识世界增长知识的主要途径，是智力发展的基础。同时我们学习也需要观察。高斯靠观察超于常人算出1至100的自然数的和。杨辉靠观察发现了杨辉三角形。笛卡儿靠观察创立直角坐标系。下面就如何运用观察法解题进行例述。
一、观察数字，寻求突破
题目中的特殊数字，如整数、质数、奇数、偶数、勾股数组等，经仔细观察，发现数字间的联系，找到解题突破口。
例1、求：12+的和。
分析：观察差式：k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）=3k（k+1），我们分别用1、2、3、……、n代替上式的k可得：
1·2·3-0·1·2=3·1·2
2·3·4-1·2·3=3·2·3
3·4·5-2·3·4=3·3·4
…… …… ……
n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）=3·n·（n+1）上述各式相加得：
n（n+1）（n+2）=3（12+）=3Sn
所以：Sn=n（n+1）（n+2）。（解略）
二、观察外型，联想知识
观察一个命题的条件或结论，其外型与那些知识相似，于是联想到有关知识。运用这些知识去解答问题。
例2、a、b证明：
分析1：外型含有根式，联想到两边平方，得到证明1
证明1：欲证原不等式成立，只要证
1+a2+1+b2 — 2≤a2-2ab+b2
只要证：1+ab。 如果1+ab，则不等式显然成立。
如果1+ab>0，则只要证明：
（1+ab）2（1+a2）（1+b2）
即证：（a — b）2≥0，这显然成立。
分析2：外型分子含有根式，且被开方式常数项相同，可否将分子有理化进行证明。
证明2：左边=
=。
三、观察结构，确定解法
仔细观察题中式子的结构特点，联想有关数学知识和方法，确定解题思路。
例3、证明：
分析：观察题设结构特点和是互为有理化因式。
所以：·=2，故可设：=y，则=
原式可化为：y2-4y+2=0，解得y=2±（2-舍去）。所以：2-
从而左边==2++2-=4=右边（解略）。
四、观察整体，全面审视
纵观问题的整体，全方位进行审视，再注意局部处理，容易发现问题的实质。
例4、已知，a、b、c且
求证：a + b + c
分析： 从题设整体分析得出，而从结论整体分析得出
（1+a）+（1+b）+（1+c）≥，联想（A+B+C）·（
的证题的经验，本题即得证。（解略）
五、观察局部，各个击破
对一个数学问题的局部进行观察，有利于发现解题信息，或把一个问题分成若干个部分，认真观察局部情况，由局部的突破而使问题逐步得到解决。
例5、在锐角ΔABC中，求证：
sinA+sinB+sinC > cosA+cosB+cosC
sinA·sinB·sinC > cosA·cosB·cosC
分析：不等式作整体处理有困难，考虑到A、B、C是锐角，有A+B > 900，00<900-B 不妨先观察局部，从处理sinA入手。SinA>sin（900-B）=cosB>0，同理sinB>cosC，sinC>cosA。上面三个式子相加和相乘即得所证。（解略）
六、观察结论，联系条件
注意观察结论与条件之间的联系，寻求解题途径。
例6、已知，为锐角，并且3，
求证：
分析：结论中有α、2β联系所给条件，设法把含有β、2α的三角函数式变为α、2β的三角函数式，再证明就容易了。
（1）÷（2）得tan。
为锐角， 即 （解略）。
七、观察全题，挖掘隐含
要搜寻每一个细节，不放过题中的每一个字，尽可能地发掘隐含条件，最大限度地利用题目所提供的信息。
例7、已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）=f（2-x），方程f（x）=0有4个互不相等的实数根，这4个根的和等于（ ）。
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：此题中函数f（x）没有具体的表达式，f（x）=0的根无法具体地知道。但条件f（x+2）=f（2-x）隐含了“函数f（x）的图像关于直线x=2对称”这一性质，观察到这一点，就可推知：函数图像与轴的交点也关于直线x=2对称，因此4根之和应为8。所以答案为C。
八、观察特值，探求解法
对问题的特殊情况，极端情况进行观察，往往可以发现问题的一般性结论和解决问题的方法。
例8、两个数列{an}和{bn}，已知an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，当a1=1，b1=2时，求{an}和{bn}的通项公式。
分析：由已知我们可以得到an+1=2bn-an，，先观察=2、3、4的特殊情况，可得b1=2，，b3=8，若视2=，便可猜想：，进一步猜出，然后用数学归纳法加以证明。
九、观察规律，寻求思路
通过观察各元素之间的关系，发现它们的内在联系，从事物的构成规律上来把握问题的实质，寻找到解题思路，使问题获解。
例9、设f（x）=，且f1（x）=f（x），fn+1（x）
=f[fn（x）]，n=1，2，3，…，
试求f2005（2005）。
分析：考察f1（x）、f2（x）、f3（x），……，看看有什么规律：
f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=x，f4（x）=，……，
得出f3k+1（x）=，f3k+2（x）=，f3k（x）=x，有这一规律，
f2005（2005）=（解略）
可见观察能找到解题的突破口，能使解题巧妙。同时那些新的思维，新的解法总是在变换了观察角度之后自然产生的。我们解数学问题也应观察问题的全貌，要学会细致入微，触及本质的观察，观察越深刻问题越易于解决。
一、观察数字，寻求突破
题目中的特殊数字，如整数、质数、奇数、偶数、勾股数组等，经仔细观察，发现数字间的联系，找到解题突破口。
例1、求：12+的和。
分析：观察差式：k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）=3k（k+1），我们分别用1、2、3、……、n代替上式的k可得：
1·2·3-0·1·2=3·1·2
2·3·4-1·2·3=3·2·3
3·4·5-2·3·4=3·3·4
…… …… ……
n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）=3·n·（n+1）上述各式相加得：
n（n+1）（n+2）=3（12+）=3Sn
所以：Sn=n（n+1）（n+2）。（解略）
二、观察外型，联想知识
观察一个命题的条件或结论，其外型与那些知识相似，于是联想到有关知识。运用这些知识去解答问题。
例2、a、b证明：
分析1：外型含有根式，联想到两边平方，得到证明1
证明1：欲证原不等式成立，只要证
1+a2+1+b2 — 2≤a2-2ab+b2
只要证：1+ab。 如果1+ab，则不等式显然成立。
如果1+ab>0，则只要证明：
（1+ab）2（1+a2）（1+b2）
即证：（a — b）2≥0，这显然成立。
分析2：外型分子含有根式，且被开方式常数项相同，可否将分子有理化进行证明。
证明2：左边=
=。
三、观察结构，确定解法
仔细观察题中式子的结构特点，联想有关数学知识和方法，确定解题思路。
例3、证明：
分析：观察题设结构特点和是互为有理化因式。
所以：·=2，故可设：=y，则=
原式可化为：y2-4y+2=0，解得y=2±（2-舍去）。所以：2-
从而左边==2++2-=4=右边（解略）。
四、观察整体，全面审视
纵观问题的整体，全方位进行审视，再注意局部处理，容易发现问题的实质。
例4、已知，a、b、c且
求证：a + b + c
分析： 从题设整体分析得出，而从结论整体分析得出
（1+a）+（1+b）+（1+c）≥，联想（A+B+C）·（
的证题的经验，本题即得证。（解略）
五、观察局部，各个击破
对一个数学问题的局部进行观察，有利于发现解题信息，或把一个问题分成若干个部分，认真观察局部情况，由局部的突破而使问题逐步得到解决。
例5、在锐角ΔABC中，求证：
sinA+sinB+sinC > cosA+cosB+cosC
sinA·sinB·sinC > cosA·cosB·cosC
分析：不等式作整体处理有困难，考虑到A、B、C是锐角，有A+B > 900，00<900-B
六、观察结论，联系条件
注意观察结论与条件之间的联系，寻求解题途径。
例6、已知，为锐角，并且3，
求证：
分析：结论中有α、2β联系所给条件，设法把含有β、2α的三角函数式变为α、2β的三角函数式，再证明就容易了。
（1）÷（2）得tan。
为锐角， 即 （解略）。
七、观察全题，挖掘隐含
要搜寻每一个细节，不放过题中的每一个字，尽可能地发掘隐含条件，最大限度地利用题目所提供的信息。
例7、已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）=f（2-x），方程f（x）=0有4个互不相等的实数根，这4个根的和等于（ ）。
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：此题中函数f（x）没有具体的表达式，f（x）=0的根无法具体地知道。但条件f（x+2）=f（2-x）隐含了“函数f（x）的图像关于直线x=2对称”这一性质，观察到这一点，就可推知：函数图像与轴的交点也关于直线x=2对称，因此4根之和应为8。所以答案为C。
八、观察特值，探求解法
对问题的特殊情况，极端情况进行观察，往往可以发现问题的一般性结论和解决问题的方法。
例8、两个数列{an}和{bn}，已知an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，当a1=1，b1=2时，求{an}和{bn}的通项公式。
分析：由已知我们可以得到an+1=2bn-an，，先观察=2、3、4的特殊情况，可得b1=2，，b3=8，若视2=，便可猜想：，进一步猜出，然后用数学归纳法加以证明。
九、观察规律，寻求思路
通过观察各元素之间的关系，发现它们的内在联系，从事物的构成规律上来把握问题的实质，寻找到解题思路，使问题获解。
例9、设f（x）=，且f1（x）=f（x），fn+1（x）
=f[fn（x）]，n=1，2，3，…，
试求f2005（2005）。
分析：考察f1（x）、f2（x）、f3（x），……，看看有什么规律：
f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=x，f4（x）=，……，
得出f3k+1（x）=，f3k+2（x）=，f3k（x）=x，有这一规律，
f2005（2005）=（解略）
可见观察能找到解题的突破口，能使解题巧妙。同时那些新的思维，新的解法总是在变换了观察角度之后自然产生的。我们解数学问题也应观察问题的全貌，要学会细致入微，触及本质的观察，观察越深刻问题越易于解决。