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分类讨论思想是中学数学解题中常用的一种思想方法，它就是将要研究的数学对象按照一定的标准进行分类，划分为若干种不同的情形，然后再逐类进行研究，最后综合各类结果，并得到整个问题的解答和求解的一种数学解题策略。解题时，要注意在分类时，必须按同一标准分类，做到“不重不漏”，并保证解答的完整准确。在解决与等腰三角形有关的题目时，分类讨论思想无事不在。本文就“等腰三角形”问题中分类讨论思想的应用，结合例题加以分析，供同学们参考。
一、边和角不确定时
例1 如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为 。
简析 此题中的边是底还是腰，我们无法确定，因此必须进行分类讨论。
若腰是4，则底是7，周长是15；若腰是7，则底是4，周长是18。
值得注意的是在考虑此题存在两种情况的同时，也应该注意要满足三角形的三边关系，例如等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长只有等于9这一种情况。
例2 已知△ABC是等腰三角形，∠A=40°，则∠B= 。
简析 在本题中已知一个角的度数，要求另一个角的度数，由于题目中并未指明∠A是顶角还是底角，所以在这种情况下，我们需要把∠A进行分类。
若∠A是顶角，则∠B必是底角，此时∠B= =70°。
若∠A是底角，那么∠B究竟是顶角还是底角，这又是不确定的，所以在这里我们需要把∠B再分为两类，如果此时∠B是底角，则∠B=∠A=40°，若∠B是顶角，则∠B=180°-2×40°=100°。
综上可知，∠B的度数应该是70°、40°或100°。
二、与等腰三角形重要的线（段）有关时
例3 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是 。
简析 此等腰三角形的高在形内、边上，还是在形外，无法确定，所以在这里要考虑三种情形，即高在形内、边上及在形外，显然要排除第二种情形。
当高在形内时（如图1），此三角形是锐角三角形，可得腰上的高是a。
当高在形外时（如图2），此三角形是钝角三角形，可得腰上的高是.
故此等腰三角形腰上的高是a或。
说明：由上题可知，当涉及等腰三角形的高的问题时，我们要考虑到高在三角形内及三角形外两种情形，如果原等腰三角形是锐角三角形，则高在形内，如果原等腰三角形是钝角三角形，则高在形外，在解题时，我们必须要画出符合题意的图形是准确解题的前提。
例4 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则等腰三角形的底边的长是 cm。
简析 由于题目中没有明确规定中线将周长分成的上下两个部分分别是多少，因此，应该分两种情况来讨论。
若设这个等腰三角形的腰长是x cm，底边长是y cm，则可得方程组x+x=15x+y=18 或x+x=18x+y=15 解得x=10y=13 或 x=12y=9
故此等腰三角形的底边的长是13cm或9cm。
例5 在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所成的锐角是40°，则底角∠B= 。
简析 如图3，当AB的中垂线与AC边相交时，△ABC是锐角三角形，此时求得顶角∠A=50°，所以∠B=∠C==65°。
如图4，当AB的中垂线与CA边的延长线相交时，△ABC是钝角三角形，此时求得∠BAD=50°，所以∠B=∠C=25°。
所以这个等腰三角形的底角是65°或25°。
三、找等腰三角形的顶点时
例6 在平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O为坐标原点，请你在坐标轴上确定点P，使得△AOP成为等腰三角形。
简析 此类找等腰三角形的第三个顶点问题都有一个共同点：已知等腰三角形的一条边，运用分类讨论思想可以知道：这条已知边可以是等腰三角形的底边，也可以是腰。
如图5，当已知边OA为等腰三角形的底边时，要找的等腰三角形的第三个顶点为顶角的顶点，应该在OA的垂直平分线上，做OA的垂直平分线交x轴于P1、交y轴于P2，连结A P1、A P2，设P1（m，0），由AP=OP运用勾股定理得方程m2 = 1+（2-m）2，解得m=，所以P1（，0）， 同理可得P2（0，）；
当已知边OA为等腰三角形的腰时，又可分为两类：以O为顶角的顶点或以A为顶角的顶点。
如图6，当O为等腰三角形顶角的顶点时，以O为圆心、OA长为半径作弧交坐标轴于P3、P4、P5、P6，因为OA= = ，所以当OA=OP时，x轴上有P3（，0）、P5（﹣，0）；y轴上有P4（0，）、P6（0，﹣）；
如图7，当A为等腰三角形顶角的顶点时，以A为圆心、OA长为半径作弧交坐标轴于P7、P8，由AO=AP运用等腰三角形的对称性易得x轴上有P7（4，0）、y轴上有P8（0，2）。
综上所述，符合条件的点有8个，分别为x轴上有P1（，0）、P3（，0）、P5（﹣，0）、P7（4，0）；y轴上有P2（0，）、P4（0，）、P6（0，﹣）、P8（0，2）。
综上可知，平面直角坐标系中的等腰三角形一般都已知其中两点的坐标，所以一条边已唯一确定，这样可以分两种情况讨论：①这条边为等腰三角形的腰时，分别以已知边的两个端点为圆心，这条边的长度为半径画弧，求出第三个点的坐标；② 这条边为等腰三角形底边时，作这边的垂直平分线，求出第三个点的坐标。
四、等腰三角形运动变化时
例7 如图8，已知四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D。
（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2） 若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿边BC-CD-DA运动至点A停止。从运动开始，经过多少时间，以点E、B、P为顶点的三角形成为等腰三角形？
简析 （1）略
（2）根据点P的位置先分为三类：点P在BC上、点P在CD上、点P在DA上
①点P在BC上，可分为三种情形：
当点B为等腰三角形的顶点时，BP=BE=2cm，此时t=2s
当点E为等腰三角形的顶点时，BE=PE，（如图9），过点E作EF⊥BC于点F，由△BEF∽△BCA可得BF=cm，所以BP=cm，此时t=s
当点P为等腰三角形的顶点时，BP=PE， （如图10），过点P作PG⊥AB于点G，BG=BE=1cm，由△BPG∽△BCA可得BP=cm，此时t=s
②点P在CD上，显然不符合题意。
③点P在DA上，只存在EP=EB=2cm时，（如图11），过点E作EH⊥AD交DA的延长线于点H， 由△AEH∽△BCA可得EH=cm，AH=cm，在Rt△EPH中，由勾股定理可得方程（+13-t）2+（）2=22，解得t1=， t2=﹥13（舍）
综上所述，当t=2s、s、s、s时，以点E、B、P为顶点的三角形成为等腰三角形。
总之，在探讨有关等腰三角形问题的时候，由于腰和底、顶角和底角的不确定性，为了能正确而完整地解决相关问题，我们往往都要进行分类讨论，在分类讨论时，要注意认真审题，按照一定的原则，把握合理分类的标准，要对所讨论的对象进行全面的分类，做到既不重复也不遗漏，在同次讨论中，只能按照所确定的一个标准进行分类，对于多级讨论要逐级进行，不能超级.最后要对所有的情况进行总结概括，的出最终的正确结论。
一、边和角不确定时
例1 如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为 。
简析 此题中的边是底还是腰，我们无法确定，因此必须进行分类讨论。
若腰是4，则底是7，周长是15；若腰是7，则底是4，周长是18。
值得注意的是在考虑此题存在两种情况的同时，也应该注意要满足三角形的三边关系，例如等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长只有等于9这一种情况。
例2 已知△ABC是等腰三角形，∠A=40°，则∠B= 。
简析 在本题中已知一个角的度数，要求另一个角的度数，由于题目中并未指明∠A是顶角还是底角，所以在这种情况下，我们需要把∠A进行分类。
若∠A是顶角，则∠B必是底角，此时∠B= =70°。
若∠A是底角，那么∠B究竟是顶角还是底角，这又是不确定的，所以在这里我们需要把∠B再分为两类，如果此时∠B是底角，则∠B=∠A=40°，若∠B是顶角，则∠B=180°-2×40°=100°。
综上可知，∠B的度数应该是70°、40°或100°。
二、与等腰三角形重要的线（段）有关时
例3 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是 。
简析 此等腰三角形的高在形内、边上，还是在形外，无法确定，所以在这里要考虑三种情形，即高在形内、边上及在形外，显然要排除第二种情形。
当高在形内时（如图1），此三角形是锐角三角形，可得腰上的高是a。
当高在形外时（如图2），此三角形是钝角三角形，可得腰上的高是.
故此等腰三角形腰上的高是a或。
说明：由上题可知，当涉及等腰三角形的高的问题时，我们要考虑到高在三角形内及三角形外两种情形，如果原等腰三角形是锐角三角形，则高在形内，如果原等腰三角形是钝角三角形，则高在形外，在解题时，我们必须要画出符合题意的图形是准确解题的前提。
例4 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则等腰三角形的底边的长是 cm。
简析 由于题目中没有明确规定中线将周长分成的上下两个部分分别是多少，因此，应该分两种情况来讨论。
若设这个等腰三角形的腰长是x cm，底边长是y cm，则可得方程组x+x=15x+y=18 或x+x=18x+y=15 解得x=10y=13 或 x=12y=9
故此等腰三角形的底边的长是13cm或9cm。
例5 在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所成的锐角是40°，则底角∠B= 。
简析 如图3，当AB的中垂线与AC边相交时，△ABC是锐角三角形，此时求得顶角∠A=50°，所以∠B=∠C==65°。
如图4，当AB的中垂线与CA边的延长线相交时，△ABC是钝角三角形，此时求得∠BAD=50°，所以∠B=∠C=25°。
所以这个等腰三角形的底角是65°或25°。
三、找等腰三角形的顶点时
例6 在平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O为坐标原点，请你在坐标轴上确定点P，使得△AOP成为等腰三角形。
简析 此类找等腰三角形的第三个顶点问题都有一个共同点：已知等腰三角形的一条边，运用分类讨论思想可以知道：这条已知边可以是等腰三角形的底边，也可以是腰。
如图5，当已知边OA为等腰三角形的底边时，要找的等腰三角形的第三个顶点为顶角的顶点，应该在OA的垂直平分线上，做OA的垂直平分线交x轴于P1、交y轴于P2，连结A P1、A P2，设P1（m，0），由AP=OP运用勾股定理得方程m2 = 1+（2-m）2，解得m=，所以P1（，0）， 同理可得P2（0，）；
当已知边OA为等腰三角形的腰时，又可分为两类：以O为顶角的顶点或以A为顶角的顶点。
如图6，当O为等腰三角形顶角的顶点时，以O为圆心、OA长为半径作弧交坐标轴于P3、P4、P5、P6，因为OA= = ，所以当OA=OP时，x轴上有P3（，0）、P5（﹣，0）；y轴上有P4（0，）、P6（0，﹣）；
如图7，当A为等腰三角形顶角的顶点时，以A为圆心、OA长为半径作弧交坐标轴于P7、P8，由AO=AP运用等腰三角形的对称性易得x轴上有P7（4，0）、y轴上有P8（0，2）。
综上所述，符合条件的点有8个，分别为x轴上有P1（，0）、P3（，0）、P5（﹣，0）、P7（4，0）；y轴上有P2（0，）、P4（0，）、P6（0，﹣）、P8（0，2）。
综上可知，平面直角坐标系中的等腰三角形一般都已知其中两点的坐标，所以一条边已唯一确定，这样可以分两种情况讨论：①这条边为等腰三角形的腰时，分别以已知边的两个端点为圆心，这条边的长度为半径画弧，求出第三个点的坐标；② 这条边为等腰三角形底边时，作这边的垂直平分线，求出第三个点的坐标。
四、等腰三角形运动变化时
例7 如图8，已知四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D。
（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2） 若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿边BC-CD-DA运动至点A停止。从运动开始，经过多少时间，以点E、B、P为顶点的三角形成为等腰三角形？
简析 （1）略
（2）根据点P的位置先分为三类：点P在BC上、点P在CD上、点P在DA上
①点P在BC上，可分为三种情形：
当点B为等腰三角形的顶点时，BP=BE=2cm，此时t=2s
当点E为等腰三角形的顶点时，BE=PE，（如图9），过点E作EF⊥BC于点F，由△BEF∽△BCA可得BF=cm，所以BP=cm，此时t=s
当点P为等腰三角形的顶点时，BP=PE， （如图10），过点P作PG⊥AB于点G，BG=BE=1cm，由△BPG∽△BCA可得BP=cm，此时t=s
②点P在CD上，显然不符合题意。
③点P在DA上，只存在EP=EB=2cm时，（如图11），过点E作EH⊥AD交DA的延长线于点H， 由△AEH∽△BCA可得EH=cm，AH=cm，在Rt△EPH中，由勾股定理可得方程（+13-t）2+（）2=22，解得t1=， t2=﹥13（舍）
综上所述，当t=2s、s、s、s时，以点E、B、P为顶点的三角形成为等腰三角形。
总之，在探讨有关等腰三角形问题的时候，由于腰和底、顶角和底角的不确定性，为了能正确而完整地解决相关问题，我们往往都要进行分类讨论，在分类讨论时，要注意认真审题，按照一定的原则，把握合理分类的标准，要对所讨论的对象进行全面的分类，做到既不重复也不遗漏，在同次讨论中，只能按照所确定的一个标准进行分类，对于多级讨论要逐级进行，不能超级.最后要对所有的情况进行总结概括，的出最终的正确结论。