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三角形的高、中线和角平分线是三角形中的基本元素,三边关系、三角形及多边形的内角和定理是三角形中最基本的定理之一,这些知识在初中数学中有着广泛的应用.巧妙运用三角形中的边角关系和定理,会使问题化难为易,迅速求解,下面举例加以说明.
一、巧求三角形个数
例1 观察下列图形,则第n个图形中三角形的个数是().
解析:观察图形可知,第1个图形中有4个三角形,第2个图形中有8个三角形,第3个图形中有12个三角形.所以第n个图形中的三角形个数是这个图形序号的4倍.所以第n个图形中三角形的个数是4n,故选D.
点拨:解答这类问题,应仔细观察图形,找出其中的规律是解题的关键.
二、巧用三角形三边关系定理
例2已知正整数a、b、c,且a 解析:因为a ①若a=1,则b最小取2,c最小取3,这时1+2=3不能组成一个三角形,依次类推a取1时,b、c无论取怎样的值都不能组成三角形;
②若a=2,则b最小取3,c最小为4,满足2+3>4,能组成一个三角形;若b再依次增大为4,5,c再增大为5,6,有2+4>5,2+5>6,都能组成三角形,因此,满足条件的三角形的三边a、b、c的长为分别为:2、3、4;2、4、5;2、5、6;3、4、5;3、4、6;3、5、6;4、5、6最多有7种组成情况.
点拨:解决此类问题时,应缩小范围,先确定最短边,然后根据三角形三边关系定理解题,在解题时应避免解的遗漏.
三、巧用三角形的高
例3 已知△ABC的高为AD,∠BAD=70°,∠CAD=
20°,求∠BAC的度数.
解析:由于AD为底边BC上的高,过A做底边BC的垂线时,垂足D可能落在底边BC上,也有可能落在BC的延长上.因此,我们需要分情况讨论.
(1)如图4,当垂足D落在BC边上时,因为∠BAD=70°,∠CAD=20°,所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.
(2)如图5,当垂足D落在BC的延长线上时,因为∠BAD=70°,∠CAD=20°,所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.
所以∠BAC为90°或50°.
点拨:由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形,在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时,我们就要分类讨论,以防遗漏.
四、巧用三角形的角平分线
例4如图6,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点I.你能归纳出∠BIC和∠A的关系吗?
解析:∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB
=180°-∠ABC-∠ACB
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°- (180°-∠A)
=90°+∠A.
点拨:这是一道角度计算题,根据已知条件,要求∠BIC与∠A的关系,根据三角形的角的平分线和内角和,求到∠IBC+∠ICB的度数即可.
五、巧用三角形的中线
例5已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形分割为周长分别为12cm和21cm的两个小三角形,求等腰三角形的腰长.
解析:如图7,设腰AB=xcm,底BC=ycm,D为AC边的中点.根据题意,得x+x+BD=12,且y+x+BD=21,解得x=8,y=17;或x+x+BD=21,且y+x+BD=12解得x=14,y=5.所以当x=8,y=17时,8+8<17不符合定理,应舍去.故此三角形的腰长是14cm.
点拨:在解决此类问题时,要记得验证结果是否都符合逻辑.
六、巧用三角形内角和定理
例6 如图8,求五角星的五个顶角的度数之和.
解析:观察图形可知,∠2=∠B+∠D,∠1=∠E+∠C,这样将五个角的度数集中到一个三角形中问题可解.
由三角形内角和定理的推论,得∠B+∠D=∠2,∠C+∠E=∠1,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠2+∠1=180°.
点拨:三角形内角和定理及其推论对于解答有关三角形角的问题起着很重要的作用.
一、巧求三角形个数
例1 观察下列图形,则第n个图形中三角形的个数是().
解析:观察图形可知,第1个图形中有4个三角形,第2个图形中有8个三角形,第3个图形中有12个三角形.所以第n个图形中的三角形个数是这个图形序号的4倍.所以第n个图形中三角形的个数是4n,故选D.
点拨:解答这类问题,应仔细观察图形,找出其中的规律是解题的关键.
二、巧用三角形三边关系定理
例2已知正整数a、b、c,且a
②若a=2,则b最小取3,c最小为4,满足2+3>4,能组成一个三角形;若b再依次增大为4,5,c再增大为5,6,有2+4>5,2+5>6,都能组成三角形,因此,满足条件的三角形的三边a、b、c的长为分别为:2、3、4;2、4、5;2、5、6;3、4、5;3、4、6;3、5、6;4、5、6最多有7种组成情况.
点拨:解决此类问题时,应缩小范围,先确定最短边,然后根据三角形三边关系定理解题,在解题时应避免解的遗漏.
三、巧用三角形的高
例3 已知△ABC的高为AD,∠BAD=70°,∠CAD=
20°,求∠BAC的度数.
解析:由于AD为底边BC上的高,过A做底边BC的垂线时,垂足D可能落在底边BC上,也有可能落在BC的延长上.因此,我们需要分情况讨论.
(1)如图4,当垂足D落在BC边上时,因为∠BAD=70°,∠CAD=20°,所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.
(2)如图5,当垂足D落在BC的延长线上时,因为∠BAD=70°,∠CAD=20°,所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.
所以∠BAC为90°或50°.
点拨:由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形,在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时,我们就要分类讨论,以防遗漏.
四、巧用三角形的角平分线
例4如图6,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点I.你能归纳出∠BIC和∠A的关系吗?
解析:∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB
=180°-∠ABC-∠ACB
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°- (180°-∠A)
=90°+∠A.
点拨:这是一道角度计算题,根据已知条件,要求∠BIC与∠A的关系,根据三角形的角的平分线和内角和,求到∠IBC+∠ICB的度数即可.
五、巧用三角形的中线
例5已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形分割为周长分别为12cm和21cm的两个小三角形,求等腰三角形的腰长.
解析:如图7,设腰AB=xcm,底BC=ycm,D为AC边的中点.根据题意,得x+x+BD=12,且y+x+BD=21,解得x=8,y=17;或x+x+BD=21,且y+x+BD=12解得x=14,y=5.所以当x=8,y=17时,8+8<17不符合定理,应舍去.故此三角形的腰长是14cm.
点拨:在解决此类问题时,要记得验证结果是否都符合逻辑.
六、巧用三角形内角和定理
例6 如图8,求五角星的五个顶角的度数之和.
解析:观察图形可知,∠2=∠B+∠D,∠1=∠E+∠C,这样将五个角的度数集中到一个三角形中问题可解.
由三角形内角和定理的推论,得∠B+∠D=∠2,∠C+∠E=∠1,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠2+∠1=180°.
点拨:三角形内角和定理及其推论对于解答有关三角形角的问题起着很重要的作用.