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〔摘要〕学术研究中关于技术分析是否有效的争论一直存在，近年来越来越多的研究为技术分析的有效性提供了理论和模型的支持。本文以沪深300股指期货的日交易数据为样本，验证了最高价和最低价之间的分形协整关系和其差价的长记忆性特征，并基于分整向量误差修正模型（FVECM）的预测结果构建了一个利用压力支撑线原理进行日内交易的反转策略，证明了FVECM预测结果相较于其他模型的预测结果可以得到超额收益，为证券市场上的量化投资提供新的证据和参考。
〔关键词〕量化投资；沪深300股指期货；分形协整
中图分类号：F83091文献标识码：A文章编号：10084096（2015）05008506
一、引言
奥斯本的随机漫步理论和法玛[1]的有效市场假说认为，技术分析是无效的，在证券交易中，一个根据证券历史价格构造的投资策略，不会比一个消极的买入并持有策略取得更好的收益。然而，技术分析的支持者却认为，按照证券的历史信息进行交易会比仅仅跟随市场交易取得更高的收益。近年来，国内外出现了很多支持技术分析有效性的实证研究，为技术分析提供了理论支持。随着计算机技术的迅猛发展，技术分析通过与之结合，其应用范围与功效都得到了前所未有的进步，算法交易与量化投资作为市场上的新兴产物，得到了很多投资者的青睐。
量化投资在国外的发展已经有三四十年的历史，投资业绩稳定，市场份额不断扩大，得到越来越多投资者的认可。然而，国内的量化投资领域还处于发展起步阶段，量化投资占金融投资的比重不超过5%。随着中国2010年沪深300股指期货的出台，量化投资在国内市场的发展潜力逐渐显现，各大券商和机构投资者纷纷对量化交易展开深度研究。
随着2010年4月中国沪深300股指期货的推出，国内金融衍生产品市场逐渐完善，沪深300股指期货的上市交易宣告了中国股市不能做空的单边市场的结束，也为投资者提供了套期保值规避风险的工具。同时，股指期货的上市，提高了对国内投资者的投资要求，机构投资者在交易中面临着更大的考验，因而新兴的算法交易和量化投资等投资策略在此时显现出更大的优势和更好的发展前景。
本文对沪深300股指期货的日开盘价和收盘价数据进行研究，发现了二者之间的分形协整关系，通过建模、预测，构建一个基于最高价和最低价之间关系的量化投资反转策略。在理论意义上，本文将分形协整的概念应用于对证券价格的预测中，将局限于整数维差分的误差修正模型拓展到基于分数维差分的分整误差修正模型，提高了预测精度，为日后金融或其他领域的非平稳时间序列的研究和时间序列之间长期趋同性的研究拓宽了思路。在实用价值上，本文提出的基于证券最高价和最低价预测的反转策略会为市场上的投资者提供一种新的参考方法和新的投资思路，有利于推行量化投资在股指期货市场的发展。
二、文献综述
国外的一些研究在几年前已经开始着眼于最高价和最低价之间的协整关系，Brandt 和 Diebold[2]认为最高价和最低价之间的差价是股价波动率的一个重要的指标，Brunetti 和 Lildholdt[3]将差价这一变量加入到一些随机波动模型中来获得有用的信息。Murphy[4]通过对投资者心理的研究分析得出了技术分析中压力线和支撑线的存在。Cheung等[5]认为差价的两个组成部分最高价和最低价也是值得深入研究的，他根据二者之间长期均衡的关系，提出了用向量误差修正模型VECM对其建模并预测。1980 年前后，陆续有学者将长记忆模型引入到经济和金融问题的研究中来，Stakenas[6]针对一些存在长记忆性的时间序列，提出了分形协整的概念。Johansen和Nielsen[7]提供了分整向量误差修正模型的条件最大似然估计方法，将传统的滞后算子L改进为分形滞后算子，估计出协整阶数d、b，调整参数矩阵α等参数。Caporin等[8]以美国道琼斯工业指数中的成分股价日数据为样本，运用分整向量误差修正模型估计了最高价和最低价并且证明了二者之间的分形协整关系，实现了分整向量误差修正模型在股票市场上的应用。Brock等[9]发现大多数的基于技术分析指标的交易策略与买入并持有策略相比，会得到更高的收益和更低的波动率，Gradojevic和Gentay[10]讨论了交易的不确定性，并用基于模糊交易的指标解决了这一问题。
近年来国内的一些研究将时间序列之间的协整关系转移到了分形协整关系。孙青华和张世英[11]在一般的协整关系研究中加入了分形理论，解释了时间序列的长记忆性和分形协整之间的关系，提出可以据此建立相应的长记忆性协整系统的误差修正模型。吴大勤[12]将一般时间序列的整数阶差分扩展到长记忆性序列中的分数维差分，以沪深股市为例，提出了长记忆性下的分形协整，进而将协整建模的技术同FIGARCH结合，得出了二阶基础上长期均衡的一些性质。赵进文和庞杰[13]通过实证分析证明了中国等发展中国家的股市大多存在明显的长记忆性，对中国内地A股和香港地区H股两个分隔市场分别建立能够反映其收益率波动的FIGARCH模型，证明了两个市场的联动性。曹广喜[14]以中国股市的长记忆性和分形特征为基础，分析宏观经济政策对股市波动性的影响。以往的技术分析多是利用证券的日收盘价数据进行的，而王锦[15]证明了一个结合了最高价、最低价的股票预测方法比单纯的以收盘价为基础的预测方法有意义，因为它们分别代表了市场的支撑位与阻挡位，要比其他交易价格包含了更多的关于市场反转点的信息，并且通过VAR 模型分析了 最高价、最低价、收盘价三者之间存在着明显的协整关系。技术分析中一个重要的方法就是基于压力线和支撑线的反转策略。陈卓思和宋逢明[16]得到股票价格的局部极值点，结合Murphy的研究说明了基于压力线和支撑线的反转交易策略是可行的。谢丁[17]对六类压力支撑类股票技术分析指标进行了实证研究，通过计算股价波动与压力支撑类指标各分析量之间的相关关系，验证股价波动与该类技术指标的相关性，从而实证了压力支撑类指标的有效性。 从以上文献中可以看出，国内对分形协整研究的应用局限于不同市场间的收益率波动，而很少有研究单种证券日最高价和最低价之间的分形协整关系，而且一个结合了最高价、最低价的预测方法比单纯依靠收盘价更为可靠，因而本文将根据最高价和最低价的分形协整关系构造一个反转交易策略，并证明该策略的超额收益。
二、沪深300股指期货最高价和最低价的分形协整关系检验
（一）协整关系检验
协整过程是针对具有单位根的非平稳时间序列提出的。对于一个n维向量时间序列yt，如果每一个分量序列yit （i= 1，2， ，n ），均为一单变量单位根过程（即满足yit～I（1）），且存在非零的 n 维向量α ，使得各序列组成的线性组合α′yt为一稳定过程，即α′yt～I（0），则称向量时间序列yt是协整的，α为其协整向量。以两个变量y 和x 为例，设y 和x 都是一阶单整序列，则 EG 两步法的具体检验步骤为：第一步，利用最小二乘法估计模型，并计算相应的残差序列。第二步，检验残差序列的平稳性。
常用的单整检验有DF检验（Dickey Fuller检验）、ADF检验（Augmented Dickey Fuller检验）和PP检验（Phillips Perron）。如果经过 DF 检验（或 ADF 检验）拒绝了原假设残差序列是平稳序列，则意味着y 和x 存在着协整关系；如果接受了存在单位根的原假设，则残差序列是非平稳的，y 和x 之间不可能存在协整关系。
2沪深300股指期货最高价和最低价的协整关系检验
本文对沪深300股指期货最高价和最低价数据进行协整检验，选取日数据，样本区间从2010年4月16日到2014年12月31日。分别对沪深300股指期货最高价和最低价以及差价做ADF检验，结果如表1所示。
从表1可以看出，最高价和最低价都是一阶单整序列，对二者线性回归后的残差序列μ进行ADF检验，可以看出残差序列是平稳的，最高价和最低价之间存在协整关系。对二者线性组合后的序列R=H-L进行ADF检验，可以看出，差价R序列也是平稳的。
（二）长记忆性检验
Hurst最先提出了一种长记忆性的度量方法——重标极差分析法（Rescaled Ranger Statistic，简称R/S统计量），Mandelbrot对R/S统计量做进一步的研究。设时间序列Xt，则τ个时间序列观测点的极差为R（τ）=max y（i，τ）-min y（i，τ），标准差为S（τ）={1τ∑τi=1[xi-（Ex）τ]2}12，R/S统计量为Q0=Rτ/Sτ。
Hurst、Mandelbrot和Wallis分别证明了：
plimτ→∞{τ-HR（τ）/S（τ）}=C（1）
其中，C为常数，H为Hurst指数。H的估计公式为 ：
H=log[R（τ）/S（τ）]/log（τ）（2）
当 H ≤05时，时间序列为短记忆性的；当H>05时，时间序列为长记忆性的。
用R/S分析法计算差价的Hurst指数，可得05 （三）分形协整检验
近年来的研究表明，如果将协整关系局限于整数维差分框架下来分析问题，则会造成分析结果的不准确，特别是高频的金融数据下，单整阶数为整数值的条件过于苛刻。Granger和Hosking给出了一个ARFIMA（Fractional Integrated Auto-Regressive Moving Average，分整自回归移动平均）模型。ARFIMA模型是一个前沿性的长记忆性模型，该模型是放宽ARIMA模型整数维差分到分数维差分后得到的。该模型表示，对一个时间序列{yt}，我们可以建立如下分整过程： yt=（1-L）tμt，其中，L是滞后因子，μt是一个均值为零、方差恒定的独立同分布过程，即白噪声过程，d = H-1/ 2是分整系数。如果引入 ARMA项，则该分整模型就可以变换成为一个更为一般性的模型：Φ（L）（1-L）d（Xt-μ）=θ（L）εt ，其中，d为分数维差分参数。0 从上文的研究中可以看出，沪深300股指期货最高价和最低价的线性组合，即二者的差价存在长记忆性特征。目前人们对金融向量时间序列协整的研究集中在整数维差分，而长记忆性时间序列的差分阶数往往是分数维的，因而本文针对差价序列的长记忆性特征，对协整阶数进行拓展，探讨最高价和最低价之间的分数维协整关系。
为了验证最高价和最低价的分形协整关系，本文对分形单整自回归滑动平均模型ARFIMA（1，d，1）中的分数维差分参数d进行估计，用SAS软件中的FARMAFIT函数，结果为dR=03878，dH=09685，dL=09651。可以看出对最高价和最低价线性组合后的差价序列的差分参数降低，dR 综上所述，差价的长记忆性以及最高价和最低价之间的分形协整关系，可以说明最高价和最低价都是可预测的。存在一种合适的模型可以对最高价和最低价进行建模和预测。
三、分形协整模型构建及模型预测能力分析
（一）分整误差修正模型介绍
本文使用Johansen改进后的向量误差修正模型（VECM），运用基于分数维差分的分整向量误差修正模型（FVECM）来拟合最高价和最低价之间的分形协整关系。模型形式如下： ΔdXt=（1-Δb）Δd-bαβ'Xt+∑Kj=1ΓjΔdLjbXt+εt
（4）
其中，L为分形滞后算子，Lb=1-（1-L）b，本文中Xt=（pHt，pLt），εt=（εHt，εLt），α=（αH，αL）是调整系数矩阵，β=（1，γ）是协整向量。α的分量表示变量对短期背离的调整程度，本文对长期趋势的短期背离可用差价来表示。因此，此模型既拟合了证券最高价和最低价之间的长期趋同性，也包含了证券价格离散性的信息。我们通过这个模型可以研究差价的长记忆性，可以根据过去的历史价格对未来的最高价和最低价进行更准确的预测。
本文假设d=1，表示强分形协整；β=（1，-1），从而最高价和最低价之间的协整关系是基于差价，即二者相减后序列是平稳性的。如果b>05，差价平稳且为d-b阶单整。如果b<05，也就是弱分形协整的情况下，差价是不平稳的。如果d=b=1，则此模型与VECM相同。根据BIC准则，选择滞后阶数k=1，因而需要估计的模型为：
ΔPHt=αH（1-Δb）Δ1-bRt+γ11LbΔPHt+γ12LbΔPLt+εHt
（5）
ΔPLt=αL（1-Δb）Δ1-bRt+γ21LbΔPHt+γ22LbΔPLt+εLt（6）
对此模型的估计采用Johansen和Nielsen提出的条件极大似然估计方法，用matlab程序估计出模型中的α、γ、d、b等参数，估计结果如表2所示。
从表2可以看出，b =045<05，说明差价是不平稳的，有很明显的长记忆性，误差修正项ECM的系数αH<0，αL>0，说明差价的加大会拉低次日的最高价，抬高次日的最低价，使得最高价和最低价之间存在长期稳定的相关关系，即分形协整关系。αH的绝对值小于αL的绝对值，说明在这种长期均衡关系中，低价的反弹程度大于高价的降低程度。这可以用行为金融学中投资者对表现较差股票的过度反应来解释。
投资者会对任何影响股票价格波动的因素产生过度反应。这种现象也被称为“赢家—输家组合效应”。利用这种效应，投资者可以通过卖空过去表现得好的股票组合（赢家组合Winners），同时买进过去表现得差的股票组合（输家组合Losers）而获得超额收益。这种投资策略只是以过去的股票价格作为信息进行操作，通过这种反向操作的策略获得持续的超常收益与市场的有效性不一致，这就意味着市场的弱有效性并不成立。
（二）分整误差修正模型预测能力检验
Diebold和Mariano提出Diebold-Mariamo 检验法。假设两个模型的预测误差为e1，t和e2，t（t=1，2，3，…，T），g（e1，t）和g（e2，t）代表它们相关的损失函数，则两模型的相对损失函数可表示为d=g（e1，t）-g（e2，t）。定义零假设H0：E（dt）=0。
如果{dt}是协方差平稳和短记忆性的数列，则根据中央极限定理，可用下列分配：
T（d-u）→N（0，2πfd（0））（7）
其中，d为样本平均数，fd（0）为样本的零点谱密度。检验统计量为：
DM=2πd（0）T（8）
其中，d（0）是fd（0）的一致估计，经过标准化后，DM检验统计量是近似N（0，1）的标准正态分布，DM检验统计量为负数且显著时，则表明拒绝零假设H0：E（dt）=0。
根据FVECM模型的预测结果，我们构造一个基于最高价和最低价预测结果的反转投资策略，我们对2013年和2014年两年483个数据进行样本外预测，2010—2012年的数据估计出模型的参数后，用一步向前预测方法，预测出2013—2014年的最高价和最低价数据。
运用Diebold-Mariano检验（简写为D-M检验）将VECM、GARCH（1，1）、RW、MA5、MA22模型和FVECM的预测能力进行比较。D-M检验结果如表3所示。
从表3可以看出，FVECM的预测误差显著小于其他对比模型，MA5和MA22通常是用来观察股价走势的，而非用来估计和预测未来的股价。与随机游走模型RW比较时，统计量也是显著的，说明基于FVECM的预测结果好于基于强式有效市场的价格预测，说明技术分析是有效的。VECM局限于整数维差分，没有考虑到差价的长记忆性，说明本文对分数维差分和长记忆性的考虑可以提高模型的价格预测能力。
四、基于分形协整模型的反转交易策略分析
由于最高价和最低价是交易策略的核心组成部分，与压力线和支撑线的概念有紧密联系，我们利用上文模型的预测结果构造一个反转策略。
（一）反转交易策略分析
上文中对最高价和最低价的预测结果可以构造一个带状区间，我们将股价一日内的走势与基于差价的带状区间的交点作为买入和卖出的信号。在一个给定的交易日内，价格向上穿过上界，则为卖出的信号，向下穿过下界，则为买入的信号，这种策略称之为反转策略。这种策略也可以解释为从价格波动时的短期均值回复的流动性储备。从前文中可以看出，差价的上升会拉低第二日的最高价，提升第二日的最低价，因而降低第二日的差价。因此，选取反转交易策略是合理的。之所以选择日内交易，是为了避免隔夜市场操作带来的价格波动风险。
1模拟交易
本文中的反转策略为日内交易，通过FVECM对最高价和最低价的预测，计算出差价的估计值T，以日开盘价为基础，构造最高价和最低价形成的带状区间，作为买入或卖出的信号，区间的上下界分别为PU=POt+Rt和PL=POt-Rt。在某一交易日，如果股指点数向上穿过上界，就是卖出的信号，如果股指点数向下穿过下界，就是买入的信号。一旦买入，就会产生两条新的带，即获利带和止损带，SL=P+δRt和TP=P-δRt。如果股指点数穿过SL或TP，应该平仓；如果直到收盘时都没有穿过这两条带，就在收盘时将持有合约平仓。这种策略类似于Holmberg将差价作为开盘价到收盘价之间的分位数，根据差价的波动进行交易，只是他们的研究没有做像本文中的最高价和最低价的预测。 2反转策略超额收益的验证
为证明FVECM的预测结果对交易收益的提高，本文按照上述交易策略编写matlab程序对沪深300股指期货进行模拟交易，选取2013年1月1日至2013年12月31日作为样本区间，用1分钟分时数据进行模拟，δ取075。沪深300股指期货的报价单位为沪深300股指的指数点，合约乘数为每点300元，最少交易005合约数，最多交易100合约数。本文的模拟交易只对主力合约进行交易，为了简便起见，不考虑保证金交易和手续费问题，用点数×合约乘数×交易合约数作为价格，交易单位选择005个合约。每日收益为（卖出成交价-买入成交价）×300×005。期末收益为两年间每日收益之和。
比较期末几种模型的收益情况，结果如表4所示。
五、结语
本文主要的贡献是证明了证券最高价和最低价的可预测性，用分形协整向量误差修正模型FVECM对最高价和最低价之间的分形协整关系进行建模，符合最高价和最低价之间的分形协整关系和差价的长记忆性。为证明技术分析的有效性，我们将一个基于FVECM的预测结果的交易策略用于沪深300股指期货交易中，提供买入或卖出的信号。主要结论为最高价和最低价的预测可以提高交易的收益，降低交易时的风险。在未来的研究中，希望能进行最高价和最低价的预测能否提高风险分析能力和风险管理的研究。希望构建更灵活的模型，可以实现最高价、最低价、差价的分别估计和预测。可用于衍生产品定价等领域。
此外，由于本文中的交易策略是日内交易，中国股票市场T+1制度的限制使得无法将此研究策略扩展于股票市场，应用的广泛性还有待提高。希望今后的研究中能出现基于股票市场的对本文的改进，这样将会使本文更有实用价值。
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Analysis of A Contratian Strategy based on the Predictability of High and Low Prices of Securities
——A Case for IF300 Index Futures
CHEN Qian
（Dongbei University of Finance and Economics，Dalian Liaoning 116025，China ）
Abstract： In academic research， there is an argument about whether technical analysis is valid In recent years， more and more studies of the technical analysis provide support evidences by theory and models In this paper， I choose daily data of IF300 index futures as data sample to verify the fractional cointegration relationship between high price and low price， and the long memory feature of range， indicating the high and low prices are predictable Then use the fractal cointegration vector error correction model （FVECM）to its modeling and forecasting， prove that FVECM prediction predictions will get excess returns compared to other models， providing a new way to the quantitative investment on the transaction in security market
Key words：high and low price； IF300 index futures； fractional cointegration； FVECM
（责任编辑：兰桂杰）
〔关键词〕量化投资；沪深300股指期货；分形协整
中图分类号：F83091文献标识码：A文章编号：10084096（2015）05008506
一、引言
奥斯本的随机漫步理论和法玛[1]的有效市场假说认为，技术分析是无效的，在证券交易中，一个根据证券历史价格构造的投资策略，不会比一个消极的买入并持有策略取得更好的收益。然而，技术分析的支持者却认为，按照证券的历史信息进行交易会比仅仅跟随市场交易取得更高的收益。近年来，国内外出现了很多支持技术分析有效性的实证研究，为技术分析提供了理论支持。随着计算机技术的迅猛发展，技术分析通过与之结合，其应用范围与功效都得到了前所未有的进步，算法交易与量化投资作为市场上的新兴产物，得到了很多投资者的青睐。
量化投资在国外的发展已经有三四十年的历史，投资业绩稳定，市场份额不断扩大，得到越来越多投资者的认可。然而，国内的量化投资领域还处于发展起步阶段，量化投资占金融投资的比重不超过5%。随着中国2010年沪深300股指期货的出台，量化投资在国内市场的发展潜力逐渐显现，各大券商和机构投资者纷纷对量化交易展开深度研究。
随着2010年4月中国沪深300股指期货的推出，国内金融衍生产品市场逐渐完善，沪深300股指期货的上市交易宣告了中国股市不能做空的单边市场的结束，也为投资者提供了套期保值规避风险的工具。同时，股指期货的上市，提高了对国内投资者的投资要求，机构投资者在交易中面临着更大的考验，因而新兴的算法交易和量化投资等投资策略在此时显现出更大的优势和更好的发展前景。
本文对沪深300股指期货的日开盘价和收盘价数据进行研究，发现了二者之间的分形协整关系，通过建模、预测，构建一个基于最高价和最低价之间关系的量化投资反转策略。在理论意义上，本文将分形协整的概念应用于对证券价格的预测中，将局限于整数维差分的误差修正模型拓展到基于分数维差分的分整误差修正模型，提高了预测精度，为日后金融或其他领域的非平稳时间序列的研究和时间序列之间长期趋同性的研究拓宽了思路。在实用价值上，本文提出的基于证券最高价和最低价预测的反转策略会为市场上的投资者提供一种新的参考方法和新的投资思路，有利于推行量化投资在股指期货市场的发展。
二、文献综述
国外的一些研究在几年前已经开始着眼于最高价和最低价之间的协整关系，Brandt 和 Diebold[2]认为最高价和最低价之间的差价是股价波动率的一个重要的指标，Brunetti 和 Lildholdt[3]将差价这一变量加入到一些随机波动模型中来获得有用的信息。Murphy[4]通过对投资者心理的研究分析得出了技术分析中压力线和支撑线的存在。Cheung等[5]认为差价的两个组成部分最高价和最低价也是值得深入研究的，他根据二者之间长期均衡的关系，提出了用向量误差修正模型VECM对其建模并预测。1980 年前后，陆续有学者将长记忆模型引入到经济和金融问题的研究中来，Stakenas[6]针对一些存在长记忆性的时间序列，提出了分形协整的概念。Johansen和Nielsen[7]提供了分整向量误差修正模型的条件最大似然估计方法，将传统的滞后算子L改进为分形滞后算子，估计出协整阶数d、b，调整参数矩阵α等参数。Caporin等[8]以美国道琼斯工业指数中的成分股价日数据为样本，运用分整向量误差修正模型估计了最高价和最低价并且证明了二者之间的分形协整关系，实现了分整向量误差修正模型在股票市场上的应用。Brock等[9]发现大多数的基于技术分析指标的交易策略与买入并持有策略相比，会得到更高的收益和更低的波动率，Gradojevic和Gentay[10]讨论了交易的不确定性，并用基于模糊交易的指标解决了这一问题。
近年来国内的一些研究将时间序列之间的协整关系转移到了分形协整关系。孙青华和张世英[11]在一般的协整关系研究中加入了分形理论，解释了时间序列的长记忆性和分形协整之间的关系，提出可以据此建立相应的长记忆性协整系统的误差修正模型。吴大勤[12]将一般时间序列的整数阶差分扩展到长记忆性序列中的分数维差分，以沪深股市为例，提出了长记忆性下的分形协整，进而将协整建模的技术同FIGARCH结合，得出了二阶基础上长期均衡的一些性质。赵进文和庞杰[13]通过实证分析证明了中国等发展中国家的股市大多存在明显的长记忆性，对中国内地A股和香港地区H股两个分隔市场分别建立能够反映其收益率波动的FIGARCH模型，证明了两个市场的联动性。曹广喜[14]以中国股市的长记忆性和分形特征为基础，分析宏观经济政策对股市波动性的影响。以往的技术分析多是利用证券的日收盘价数据进行的，而王锦[15]证明了一个结合了最高价、最低价的股票预测方法比单纯的以收盘价为基础的预测方法有意义，因为它们分别代表了市场的支撑位与阻挡位，要比其他交易价格包含了更多的关于市场反转点的信息，并且通过VAR 模型分析了 最高价、最低价、收盘价三者之间存在着明显的协整关系。技术分析中一个重要的方法就是基于压力线和支撑线的反转策略。陈卓思和宋逢明[16]得到股票价格的局部极值点，结合Murphy的研究说明了基于压力线和支撑线的反转交易策略是可行的。谢丁[17]对六类压力支撑类股票技术分析指标进行了实证研究，通过计算股价波动与压力支撑类指标各分析量之间的相关关系，验证股价波动与该类技术指标的相关性，从而实证了压力支撑类指标的有效性。 从以上文献中可以看出，国内对分形协整研究的应用局限于不同市场间的收益率波动，而很少有研究单种证券日最高价和最低价之间的分形协整关系，而且一个结合了最高价、最低价的预测方法比单纯依靠收盘价更为可靠，因而本文将根据最高价和最低价的分形协整关系构造一个反转交易策略，并证明该策略的超额收益。
二、沪深300股指期货最高价和最低价的分形协整关系检验
（一）协整关系检验
协整过程是针对具有单位根的非平稳时间序列提出的。对于一个n维向量时间序列yt，如果每一个分量序列yit （i= 1，2， ，n ），均为一单变量单位根过程（即满足yit～I（1）），且存在非零的 n 维向量α ，使得各序列组成的线性组合α′yt为一稳定过程，即α′yt～I（0），则称向量时间序列yt是协整的，α为其协整向量。以两个变量y 和x 为例，设y 和x 都是一阶单整序列，则 EG 两步法的具体检验步骤为：第一步，利用最小二乘法估计模型，并计算相应的残差序列。第二步，检验残差序列的平稳性。
常用的单整检验有DF检验（Dickey Fuller检验）、ADF检验（Augmented Dickey Fuller检验）和PP检验（Phillips Perron）。如果经过 DF 检验（或 ADF 检验）拒绝了原假设残差序列是平稳序列，则意味着y 和x 存在着协整关系；如果接受了存在单位根的原假设，则残差序列是非平稳的，y 和x 之间不可能存在协整关系。
2沪深300股指期货最高价和最低价的协整关系检验
本文对沪深300股指期货最高价和最低价数据进行协整检验，选取日数据，样本区间从2010年4月16日到2014年12月31日。分别对沪深300股指期货最高价和最低价以及差价做ADF检验，结果如表1所示。
从表1可以看出，最高价和最低价都是一阶单整序列，对二者线性回归后的残差序列μ进行ADF检验，可以看出残差序列是平稳的，最高价和最低价之间存在协整关系。对二者线性组合后的序列R=H-L进行ADF检验，可以看出，差价R序列也是平稳的。
（二）长记忆性检验
Hurst最先提出了一种长记忆性的度量方法——重标极差分析法（Rescaled Ranger Statistic，简称R/S统计量），Mandelbrot对R/S统计量做进一步的研究。设时间序列Xt，则τ个时间序列观测点的极差为R（τ）=max y（i，τ）-min y（i，τ），标准差为S（τ）={1τ∑τi=1[xi-（Ex）τ]2}12，R/S统计量为Q0=Rτ/Sτ。
Hurst、Mandelbrot和Wallis分别证明了：
plimτ→∞{τ-HR（τ）/S（τ）}=C（1）
其中，C为常数，H为Hurst指数。H的估计公式为 ：
H=log[R（τ）/S（τ）]/log（τ）（2）
当 H ≤05时，时间序列为短记忆性的；当H>05时，时间序列为长记忆性的。
用R/S分析法计算差价的Hurst指数，可得05
近年来的研究表明，如果将协整关系局限于整数维差分框架下来分析问题，则会造成分析结果的不准确，特别是高频的金融数据下，单整阶数为整数值的条件过于苛刻。Granger和Hosking给出了一个ARFIMA（Fractional Integrated Auto-Regressive Moving Average，分整自回归移动平均）模型。ARFIMA模型是一个前沿性的长记忆性模型，该模型是放宽ARIMA模型整数维差分到分数维差分后得到的。该模型表示，对一个时间序列{yt}，我们可以建立如下分整过程： yt=（1-L）tμt，其中，L是滞后因子，μt是一个均值为零、方差恒定的独立同分布过程，即白噪声过程，d = H-1/ 2是分整系数。如果引入 ARMA项，则该分整模型就可以变换成为一个更为一般性的模型：Φ（L）（1-L）d（Xt-μ）=θ（L）εt ，其中，d为分数维差分参数。0
为了验证最高价和最低价的分形协整关系，本文对分形单整自回归滑动平均模型ARFIMA（1，d，1）中的分数维差分参数d进行估计，用SAS软件中的FARMAFIT函数，结果为dR=03878，dH=09685，dL=09651。可以看出对最高价和最低价线性组合后的差价序列的差分参数降低，dR
三、分形协整模型构建及模型预测能力分析
（一）分整误差修正模型介绍
本文使用Johansen改进后的向量误差修正模型（VECM），运用基于分数维差分的分整向量误差修正模型（FVECM）来拟合最高价和最低价之间的分形协整关系。模型形式如下： ΔdXt=（1-Δb）Δd-bαβ'Xt+∑Kj=1ΓjΔdLjbXt+εt
（4）
其中，L为分形滞后算子，Lb=1-（1-L）b，本文中Xt=（pHt，pLt），εt=（εHt，εLt），α=（αH，αL）是调整系数矩阵，β=（1，γ）是协整向量。α的分量表示变量对短期背离的调整程度，本文对长期趋势的短期背离可用差价来表示。因此，此模型既拟合了证券最高价和最低价之间的长期趋同性，也包含了证券价格离散性的信息。我们通过这个模型可以研究差价的长记忆性，可以根据过去的历史价格对未来的最高价和最低价进行更准确的预测。
本文假设d=1，表示强分形协整；β=（1，-1），从而最高价和最低价之间的协整关系是基于差价，即二者相减后序列是平稳性的。如果b>05，差价平稳且为d-b阶单整。如果b<05，也就是弱分形协整的情况下，差价是不平稳的。如果d=b=1，则此模型与VECM相同。根据BIC准则，选择滞后阶数k=1，因而需要估计的模型为：
ΔPHt=αH（1-Δb）Δ1-bRt+γ11LbΔPHt+γ12LbΔPLt+εHt
（5）
ΔPLt=αL（1-Δb）Δ1-bRt+γ21LbΔPHt+γ22LbΔPLt+εLt（6）
对此模型的估计采用Johansen和Nielsen提出的条件极大似然估计方法，用matlab程序估计出模型中的α、γ、d、b等参数，估计结果如表2所示。
从表2可以看出，b =045<05，说明差价是不平稳的，有很明显的长记忆性，误差修正项ECM的系数αH<0，αL>0，说明差价的加大会拉低次日的最高价，抬高次日的最低价，使得最高价和最低价之间存在长期稳定的相关关系，即分形协整关系。αH的绝对值小于αL的绝对值，说明在这种长期均衡关系中，低价的反弹程度大于高价的降低程度。这可以用行为金融学中投资者对表现较差股票的过度反应来解释。
投资者会对任何影响股票价格波动的因素产生过度反应。这种现象也被称为“赢家—输家组合效应”。利用这种效应，投资者可以通过卖空过去表现得好的股票组合（赢家组合Winners），同时买进过去表现得差的股票组合（输家组合Losers）而获得超额收益。这种投资策略只是以过去的股票价格作为信息进行操作，通过这种反向操作的策略获得持续的超常收益与市场的有效性不一致，这就意味着市场的弱有效性并不成立。
（二）分整误差修正模型预测能力检验
Diebold和Mariano提出Diebold-Mariamo 检验法。假设两个模型的预测误差为e1，t和e2，t（t=1，2，3，…，T），g（e1，t）和g（e2，t）代表它们相关的损失函数，则两模型的相对损失函数可表示为d=g（e1，t）-g（e2，t）。定义零假设H0：E（dt）=0。
如果{dt}是协方差平稳和短记忆性的数列，则根据中央极限定理，可用下列分配：
T（d-u）→N（0，2πfd（0））（7）
其中，d为样本平均数，fd（0）为样本的零点谱密度。检验统计量为：
DM=2πd（0）T（8）
其中，d（0）是fd（0）的一致估计，经过标准化后，DM检验统计量是近似N（0，1）的标准正态分布，DM检验统计量为负数且显著时，则表明拒绝零假设H0：E（dt）=0。
根据FVECM模型的预测结果，我们构造一个基于最高价和最低价预测结果的反转投资策略，我们对2013年和2014年两年483个数据进行样本外预测，2010—2012年的数据估计出模型的参数后，用一步向前预测方法，预测出2013—2014年的最高价和最低价数据。
运用Diebold-Mariano检验（简写为D-M检验）将VECM、GARCH（1，1）、RW、MA5、MA22模型和FVECM的预测能力进行比较。D-M检验结果如表3所示。
从表3可以看出，FVECM的预测误差显著小于其他对比模型，MA5和MA22通常是用来观察股价走势的，而非用来估计和预测未来的股价。与随机游走模型RW比较时，统计量也是显著的，说明基于FVECM的预测结果好于基于强式有效市场的价格预测，说明技术分析是有效的。VECM局限于整数维差分，没有考虑到差价的长记忆性，说明本文对分数维差分和长记忆性的考虑可以提高模型的价格预测能力。
四、基于分形协整模型的反转交易策略分析
由于最高价和最低价是交易策略的核心组成部分，与压力线和支撑线的概念有紧密联系，我们利用上文模型的预测结果构造一个反转策略。
（一）反转交易策略分析
上文中对最高价和最低价的预测结果可以构造一个带状区间，我们将股价一日内的走势与基于差价的带状区间的交点作为买入和卖出的信号。在一个给定的交易日内，价格向上穿过上界，则为卖出的信号，向下穿过下界，则为买入的信号，这种策略称之为反转策略。这种策略也可以解释为从价格波动时的短期均值回复的流动性储备。从前文中可以看出，差价的上升会拉低第二日的最高价，提升第二日的最低价，因而降低第二日的差价。因此，选取反转交易策略是合理的。之所以选择日内交易，是为了避免隔夜市场操作带来的价格波动风险。
1模拟交易
本文中的反转策略为日内交易，通过FVECM对最高价和最低价的预测，计算出差价的估计值T，以日开盘价为基础，构造最高价和最低价形成的带状区间，作为买入或卖出的信号，区间的上下界分别为PU=POt+Rt和PL=POt-Rt。在某一交易日，如果股指点数向上穿过上界，就是卖出的信号，如果股指点数向下穿过下界，就是买入的信号。一旦买入，就会产生两条新的带，即获利带和止损带，SL=P+δRt和TP=P-δRt。如果股指点数穿过SL或TP，应该平仓；如果直到收盘时都没有穿过这两条带，就在收盘时将持有合约平仓。这种策略类似于Holmberg将差价作为开盘价到收盘价之间的分位数，根据差价的波动进行交易，只是他们的研究没有做像本文中的最高价和最低价的预测。 2反转策略超额收益的验证
为证明FVECM的预测结果对交易收益的提高，本文按照上述交易策略编写matlab程序对沪深300股指期货进行模拟交易，选取2013年1月1日至2013年12月31日作为样本区间，用1分钟分时数据进行模拟，δ取075。沪深300股指期货的报价单位为沪深300股指的指数点，合约乘数为每点300元，最少交易005合约数，最多交易100合约数。本文的模拟交易只对主力合约进行交易，为了简便起见，不考虑保证金交易和手续费问题，用点数×合约乘数×交易合约数作为价格，交易单位选择005个合约。每日收益为（卖出成交价-买入成交价）×300×005。期末收益为两年间每日收益之和。
比较期末几种模型的收益情况，结果如表4所示。
五、结语
本文主要的贡献是证明了证券最高价和最低价的可预测性，用分形协整向量误差修正模型FVECM对最高价和最低价之间的分形协整关系进行建模，符合最高价和最低价之间的分形协整关系和差价的长记忆性。为证明技术分析的有效性，我们将一个基于FVECM的预测结果的交易策略用于沪深300股指期货交易中，提供买入或卖出的信号。主要结论为最高价和最低价的预测可以提高交易的收益，降低交易时的风险。在未来的研究中，希望能进行最高价和最低价的预测能否提高风险分析能力和风险管理的研究。希望构建更灵活的模型，可以实现最高价、最低价、差价的分别估计和预测。可用于衍生产品定价等领域。
此外，由于本文中的交易策略是日内交易，中国股票市场T+1制度的限制使得无法将此研究策略扩展于股票市场，应用的广泛性还有待提高。希望今后的研究中能出现基于股票市场的对本文的改进，这样将会使本文更有实用价值。
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Analysis of A Contratian Strategy based on the Predictability of High and Low Prices of Securities
——A Case for IF300 Index Futures
CHEN Qian
（Dongbei University of Finance and Economics，Dalian Liaoning 116025，China ）
Abstract： In academic research， there is an argument about whether technical analysis is valid In recent years， more and more studies of the technical analysis provide support evidences by theory and models In this paper， I choose daily data of IF300 index futures as data sample to verify the fractional cointegration relationship between high price and low price， and the long memory feature of range， indicating the high and low prices are predictable Then use the fractal cointegration vector error correction model （FVECM）to its modeling and forecasting， prove that FVECM prediction predictions will get excess returns compared to other models， providing a new way to the quantitative investment on the transaction in security market
Key words：high and low price； IF300 index futures； fractional cointegration； FVECM
（责任编辑：兰桂杰）