本文内容共分三章: 第一章对一类伪抛物型方程模型的初值问题进行了讨论。伪抛物型方程模型具有非常广泛的应用背景,其初值问题可用于描述岩石裂缝中的渗流、二阶流体中的剪流以及密码学中的热流密码体制等应用模型。但是,由于抛物型方程的理论并不能直接地应用于伪抛物型方程,所以对后者的研究存在一定的困难。在第一章中,利用经典的分析方法,引入Bessel势函数,将伪抛物型方程转化为抽象算子方程,首先,利用算子半群理论,论证了局部解的存在唯一性。然后,利用积分变换,得到了解的先验估计,证明了全局解存在性。系统稳定性的概念,是用来刻画系统运动的渐近性质的。最后讨论了关于初始值扰动下的稳定性问题,即Lyapunov稳定性问题。构造具有特殊结构的Lyapunov函数,并通过解的先验估计和常微分方程的定解,证明了主要结论,即平凡解全局渐近稳定。 第二章和第三章分别讨论了两类不同边界条件下的形状记忆合金（SMA）模型。形状记忆合金模型来自动能守恒定律,描述了一维形状记忆合金的马氏体相变。第二章对一类非线性形状记忆合金模型的初边值问题进行定性分析。首先,通过构造了一个抽象算子,将原问题转化为一个抽象算子方程的Cauchy问题。然后,讨论了构造的抽象算子的基本性质,证明了抽象算子的生成元性质。最后,利用算子半群理论,证明了形状记忆合金模型局部解的存在唯一性。 分布参数系统未知参数辨识问题,一般是不适定的。无论从定性分析方面,还是从数值计算方面而言,研究不适定问题的理论和计算方法,都尚待改进和完善。第三章讨论了一类非线性形状记忆合金模型的未知参数辨识问题。通过引入Tikhonov正则化函数和Gauss—Newton法,提出了一个改进算法,分析了不同观测情况下算法的收敛性,为形状记忆合金模型未知参数辨识提供了理论依据。