论文部分内容阅读
本文主要研究二维弹性可压和几乎不可压问题的基于部分几何和分析信息的代数多层网格(AMG)法。首先，研究了弹性材料的“自锁(Locking)”现象，并通过数值实验验证了“利用高次(P≥4)协调元可以克服这种Locking现象”的结论。然后，针对二维弹性可压问题四次有限元方程，研究了相应的两水平方法，利用节点基函数的紧支性，建立了若干判定变量指标与所属几何节点类型对应关系的代数判据。基于这些结果解决了线性元节点基函数用四次元节点基函数的代数表不这一关键问题。进一步我们通过选取不同的磨光子，如Gausss-Seidel(Gs)和一种特殊的块Gauss-Seidel(LBGS)迭代，得到了求解四次有限元方程的两水平方法，即TL-GS和TL-LBGS法。通过对TL-GS法作严格理论分析，证明了其收敛性与弹性模量E、网格规模h及泊松比V无关的结论。
数值实验表明了新方法对求解弹性可压问题(V≤0.4)四次有限元方程具有很好的计算效率和鲁棒性，较经典AMG法具有明显的优势。另外，数值实验也验证了TL-LBGS法在很大程度上降低了P对T-GS收敛性的影响。最后，针对二维弹性几乎不可压问题(V→0.5)的四次有限元方程的求解，利用减缩积分方案，构造了刚性得到降低的粗水平矩阵，再通过选取不同的磨光子，设计了几种适合于求解几乎不可压问题的两水平方法。
进一步，通过调用现有的AMG法快速地求解粗水平方程(线性元方程)，从而建立了求解四次有限元方程的AMG法。数值实验结果表明，基于减缩积分方案的AMG方弦求解几乎不可压弹性问题四次有限元方程时的效率得到了大大的改善。