牛顿方程周期解的稳定性问题可简化为非线性Hill方程的平衡点的稳定性问题。本文通过计算牛顿方程Poincaré映射的扭转系数公式，并结合保积映射对稳定性理论进行研究。首先，对R.Ortega给出的扭转定义进行了改进，在此基础上，给出了一个扭转定理和不稳定性定理，并对这两个定理进行了证明。这一部分的主要工作是R.Ortega对牛顿方程的研究的一个继续。然后，对第一类牛顿方程平衡点的稳定性进行了新的研究，给出了一个稳定性定理及证明,这里第一类牛顿方程是指非线性项首项次数为奇的非线性Hill方程。对于这类方程R.Ortega给出非线性项首项系数不变号时平衡点的稳定性结果，本文主要研究的是非线性项首项系数变号时平衡点的稳定性。最后，对第二类牛顿方程平衡点的稳定性进行了研究, 这里第二类牛顿方程是指非线性项首项次数为偶的非线性Hill方程。 R.Ortega和D.Nú?ez的工作是对非线性项首项次数为2的非线性Hill方程的研究，本文是对非线性项首项次数为大于2的偶数的非线性Hill方程进行研究, 并利用类似对第一类牛顿方程的研究方法对第二类牛顿方程稳定性定理进行了详细地证明。