【摘 要】
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算子的分类是算子理论研究中的一个重要课题,算子的分类包含酉等价和相似等价.判断任意两个有界线性算子的酉等价(或相似等价)是很困难的,所以人们只能考虑相对特殊的算子类.
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算子的分类是算子理论研究中的一个重要课题,算子的分类包含酉等价和相似等价.判断任意两个有界线性算子的酉等价(或相似等价)是很困难的,所以人们只能考虑相对特殊的算子类.1978年,M.J.Cowen和R.G.Douglas定义了一类丰富的几何算子:Cowen-Douglas算子,并证明此类算子的曲率及协变偏导数是其完全酉不变量,但是曲率与算子的相似等价有何联系是不清楚的.此后,许多专家研究了 Cowen-Douglas算子的相似等价问题,并给出一些漂亮的结果.如R.G.Douglas,H.Kwon和S.Treil利用模型定理刻画了n-超压缩算子与加权后向移位算子直和的相似等价问题.但是,到目前为止关于一般Cowen-Douglas算子的几何相似不变量问题还未得到有效的解决.与此同时,判断算子何时是次正规的一直是算子理论研究中的难题之一.J.Agler在推广Arveson扩展定理时提出n-超压缩算子的概念并证得有界线性算子T是次正规压缩的当且仅当对任意正整数n,T都是n-超压缩的.而每个有界线性算子都可乘以适当的常数成为压缩算子,因此,研究算子的n-超压缩性是非常有必要的,并且该项研究具有相当的难度.我们还知道算子的n-超压缩性在相似等价中有重要的应用,鉴于此我们有必要探究算子是n-超压缩的充分条件和必要条件,并构造出相应的例子来说明R.G.Douglas,H.Kwon和S.Treil关于算子相似等价结论中的n-超压缩性是其必要条件.针对以上问题,本文研究内容分为三部分:第一部分,研究加权后向移位算子的n-超压缩性与其权序列之间的关系,利用权序列给出加权后向移位算子是n-超压缩的必要条件和充分条件.第二部分,利用曲率的迹态刻画算子的n-超压缩性,并给出算子的n-超压缩性和曲率的迹态在相似等价中的具体应用.此外,构造出相应的例子来说明算子的n-超压缩性与算子相似等价之间的关系,并证明R.G.Douglas,H.Kwon和S.Treil关于算子相似等价结论中的n-超压缩性是其必要条件.第三部分,给出任意两个指标为1的Cowen-Douglas算子相似等价的充分条件.
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