本文主要是在有单位元的正则环上研究了两个矩阵方程组有一般解的充要条件及其通解的表达式，并给出了它们的具体应用．此外，我们还在四元数除环上研究了一个矩阵方程组的自反最小二乘解．这些结果进一步丰富和发展了非交换环上的矩阵代数． 全文共分四章，第一章介绍了von Neumann正则环上的矩阵理论、实四元数以及实四元数矩阵的一些基本知识和研究背景、研究进展以及本文所做的工作．另外还给出了一些预备知识．第二章给出了矩阵方程组XB<,1>：(C<,1>，XB<,2>=C<,2>，A<,3>XB<,3>=C<,3>，A<,4>XB<,4>=C<,4>在有单位元的正则环上有一般解的充要条件及其通解的具体表达式；作为应用，我们导出了矩阵方程组XB<,1>=C<,1>，A<,3>XB<,3>=C<,3>在正则环上有中心对称解的充要条件及其解的表达式．第三章建立了矩阵方程组X<,1>B<,1>=C<,1>，X<,1>B<,2>=C<,2>，X<,2>B<,3>=C<,3>，X<,2>B<,4>=C<,4>，A<,5>X<,1>B<,5>+A<,6>X<,2>B<,6>=C<,5>在有单位元的正则环上有一般解的充要条件及其通解的表示式．作为应用，给出了矩阵方程组XB<,a>=c<,a>，XB<,b>=C<,b>，A<,c>XB<,c>=C<,c>有中心对称解的充要条件及其解的表达式．最后一章，利用四元数矩阵的奇异值分解，我们给出了四元数矩阵方程组AX=C，XB=D的自反最小二乘解的表达式．