本文讨论广义IMBq方程广义Benney-Luke方程和广义双耗散方程的Cauchy问题。在一定的条件下研究这些Cauchy问题解的整体存在性，唯一性和正则性，并给出解发生爆破的充分条件。对广义IMBq方程及方程组的Cauchy问题，在小初值的情形下，研究解的渐近性和衰减性。 1844年Scott Russell在[56]中对孤立水波进行了探讨，指出这种波不能用线性模型描述，促使人们对描述流体中波动现象的非线性偏微分方程的研究。近三十年后，J. Boussinesq（[9]，[10]）在对不可压缩，无旋水波的自由边界问题的研究中，建立了小扰动展开理论，对浅水波的描述提出了两种基本的模型和并证明以上两个方程具有特殊的行波解（称为孤立波），这对Scott Russell发现的孤立波给出了科学的解释。 Boussinesq方程的另一种形式是由V. E. Zakharov（[79]）作为一个非线性弦振动的模型提出的。 方程（4）和方程（6）被称为Boussinesq方程。因为方程（4）是不适定的，所以将方程（6）称为“好”Bq方程，而将方程（4）称为“坏”Bq方程。但是，作为长波逼近的一个模型只能是方程（4）（见[1]，P.120）。相对于方程（4），人们将方程（5）称为IBq方程，它的修正形式被称为 IMBq方程．A4akhankov给出了它的多维形式（见 t45］，pp．1115） Lt；一八u一八n；；二凸／)．（8上娥型的方程已在许多实际问回中出现，我们将在第一章给出比瓣细的介绍．特别指出：在弹性杆纵波传括的研究中提出了类似于方程门的方程（［13］） 巴uQ 巴且rJ 巳凸r＊n——I巴凸0＊J】D01许多文棚它称为Pochhammer－Chree方程厂C方程）．在晶格振动问题的研究中也提出了多维的广义 IMBq方脚 IMBq型方程组（［54），［551)． ＃f些方程的行波聊MZ子的研究已有不蜡果（P］，［13），［45］，p；［68］，［63］)，对 yBq方程定解MN的研究脯大量好的研究结果（见［71，［37］，157］，I75），［671，k0］，［22］和其中的参考文献)．关于 IMBq型方程＊)的定解问题的研究目洲有如下结果：在 ［421中，对一维问Nlql程p)化为关于 t的一阶方程tftsf究T Cauchv问硼的存在性和爆破，并给出了解的删性．在＊ 和116］中，对一维的槽形研究了Cauchy问题和初边值问题古典解的存在唯一性和爆破．在1711，广 和囚中研究了一维IMBO方程和IMBn方程组的Cauchx问题的撇生爆破的条件．对多维lusy kf的cautoy问题，在【叫中研究了局部古典解的 住和唯一性，对整体解的存在性尚未见到任何讨论． 在第二章和第三章中，我们研究广义IMBy方程的Cauchy问题 u。’一八u’。一八o ＝＝凸＊川．k．门E””X m．＋co］． Xk川＝pk)，。巾川＝帅)，X E R”整体解的存在性和不存在性，并在小初值情形下讨论解的渐近住． 主要结果是： 定理l．假设p，（e。＋入。nL。nt－，卜八广妄el。，r（w）el，司线性函数 f c c‘＋。“’，并且存在 P满足 J O ＼ OQ ZTrt＝1． ti＜D＜OO Wll＝2， 11＿＿＿ ’－＜o ’ co im x o．使得 V（D）I三 AF 小二 ＋ B，（102其中 F…）＝S j（8）ds 2 0，k 2 0和。2 0是任意整数，A，B是正常数．则Cauchy问题仰存在唯一的整体解 小，玄E＊＊牛川0，n；…”’，。n尸n＊Q），W＞o． 证明方法是首先利用二阶偏微分方程的基本解将问题化为等价的积分方程，然后利用压缩赃原理和积分估计得到悯结果．由SObolev嵌人定理可知：当大叶时，定理I中的解是古典解． 定理2．假设p，gEL‘，卜凸厂会，卜凸广会EL‘且厂MEL‘，如果存在一个常数O＞0使得 人。)。＜ 2（2。＋ l）F…)＋ 2。uZ，V。〔R；（11）并且pk)，4＊叫满足下述条件之一： （1）E（0二 1）C一八厂5州‘＋巨11’十 l且l‘＋2 h刀 F（yt）d＜0． （2）E（0）2 0， 以－。)－f。／－。)－i。)＋（p，。）＞一，则问题p)的解0（U一）在有限时刻NOW一UP 比较定理1和定理2的条件可见：贿函数J饲＝a扩，h＞1是正整数，a＞0不等式（10）要求＆为奇数，同时不等式＊1)和E仰5 0要求大为偶数，即如果f…)＝a沪，当k为奇数时，问题间存在整体古典解；当k为偶数时解发生＊侧川p． 定理3．假设a，大是正整数，l三s＞g，／E少闷，当。－＋0时满足八u)二O（H 口十十如果…一1）0＞1，其中 Zs－n n gn (＝W ＝＜S＜＝＝， 12(Zs＋