我们主要研究数域、函数域的K2群和代数整数环的K2群即tame核,这是代数K理论的一个重要的研究课题.我们主要研究两个问题,一个是代数整数环的K2群的p-秩问题,另一个是K2群中的分圆元问题.在代数整数环的K2群的p-秩方面,主要探讨代数整数环的tame核K2（?）F的p-秩与F（ζp）的理想类群的P-秩的关系.这方面的研究首先是从Tate开始的,之后由Keune对Tate的工作做了进一步的研究Browkin对二次域上的情况作了详细地探讨.沿着Browkin的思路,我们将Browkin关于二次域的结果推广到一般数域.特别是,我们深入地研究了四次循环域的情形.K2群中的分圆元问题的研究是从Browkin试图推广Tate的工作开始的,主要研究不含单位根的域F上的K2（F）的元素的清晰表示问题.在这方面,我们改变了问题的提法,赋予问题以更精确的形式,从而修正了Browkin关于分圆元的猜想.特别是,我们引入了分圆子群的概念.在有理函数域的情况,我们完全决定了由有限多个“线性”分圆元生成的子群中分圆元的个数以及分圆子群的个数；在数域的情况,我们构造了几类域F使得K2（F）中分圆元的平方和立方仍为分圆元.这使得我们进而构造出了多种非平凡的5阶分圆子群的例子.在第一章中,我们简单介绍了代数K-理论的发展及相关的问题.在第二章中,我们研究了一般数域的tame核与理想类群的p-秩的关系,下面是一些主要的定理与推论.定理2.1.3设F/Q是Galois扩张,E=F（ζp）及F∩Q（ζp）=K且l=[K：Q].若p≠l+1,那么（i）若ef>1,rankp（K2OF）=ranp（ε（（（p-1）/l）-1）Cl（Ep）p）进而,（ii）若eF=1,则当（Kerλ）∩ε（（（p-1）/l）-1）Cl（E）p不含有ε（（（p-1）/l）-1）Cl（E）p的非平凡直和项时,否则由此定理,我们可得如下推论.推论2.1.1设F/Q是与Q（ζp）线性非交的Galois扩张,且E=F（ζp）.若eF>1,则（i）rankp（K2OF）=rankp（ε（p-2）Cl（E）p）（ii）rankp（K2OF）=rnkp（η0ε（p-2）Cl（E）p）+rankp（η1ε（p-20 Cl（E）p）.推论2.1.2设F/Q是全实Galois扩张,且E=F（ζp）若（[F：Q],p-1）=1,则若F是四次循环域,我们有如下定理定理2.4.1令是四次循环域,E=F（ζp）.（i）若p（?）D且p>3,则ankp（K2OF）=rankp（ε（p-2）Cl（E）p）.（ii）若p|D但p≠D,则定理2.4.3令是四次循环域,其中p（?）D.（i）若p=3,则其中（ii）若A<0且5）,则其中定理2.4.4令是四次循环域,则定理2.4.5令则（i）若（A/5）=1,则（ii）若（A/5）=-1,则在第三章,我们主要研究了有理函数域上K2群的分圆元与分圆子群,并得到如下结果.定理3.4.7设l≥5是素数,F是域使得Φl（x）在F[x]]中不可约.令n是满足n≤l-3/2的整数.（i）若ch（F）=0,则c（Sl:（n;F））=2n,且有cs（Sl（n;F））=0.（ii）若ch（F）=p≠0,则c（Sl（n;F））=n（2+|ζ（l,p）|）.（iii）若ch（F）=p≠0,则我们有且p是l的原根.在此情况下,cs（（?）l（n；F））=n,即,（?）l（n；F）包含n个非平凡分圆子群.（iv）（?）l（n；F）的每个非平凡分圆子群是一个l阶循环子群,即个非平凡分圆子群形如（?）l（1；F）.推论3.4.6设l≥5是素数,F是ch（F）≠l的域,使得Φl（x）在F[x]中不可约.（i）若ch（F）=0且l≥5（相应的l≥7或l≥11）),则c（Sl（1;F））=2（相应的c（（?）l（2；F））=4或c（（?）l（3；F））=6且e（（?）l（4；F））=8）.（ii）若ch（F）=p≠0且l≥5（相应的l≥7或l≥11）,则c（Sl（1;F））=2+|ζ（2,p）|（相应的c（Sl（2;F））=2（2+|ζ（f,p）|）或c（Sl（3;F））=3（2+|ζ（f,p）|）且c（（?）l（4；F））=4（2+|3（l,p）|））.)对n>l-3/2,,即l≤2n+1的情况看起来比较困难.当n=2,l=5,我们有如下定理：定理3.5.1设Φ5（x）在F[x]中不可约.（i）若ch（F）=0,则c（（?）5（2；F））=4,故cs（（?）5（2；F））=0.（ii）若ch（F）=p≠0,2,则c（（?）5（2；F））=2（2+|3（5,p）|）.我们用（?）l*（2；Z）记K2（Q（x））中由两个如下形式的本质不同元生成的子群,其中满足额外的条件那么我们有定理3.5.2我们有c（（?）5*（2；Z））=4,因此,cs（S5*（2;Z））=0,即,（?）5*（2；z）中不含非平凡的分圆子群.在第四章,我们主要研究了数域上的K2（F）的分圆元与分圆子群.定理4.1.1设p≥3是素数.令a是多项式xp+xp-1+2的一个根且F=Q（α）.那么我们有定理4.2.1令p>3是素数.设α是fp,i（x）的一个根,其中i=1或2,且F=Q（α）.那么我们有