【摘 要】
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本文主要包含如下三部分内容:李群上的不变共形向量场、左不变伪黎曼Einstein度量以及3-李代数簇上的moment映射.第一部分研究符号为（p,q）的伪黎曼李群（G,＜·,·＞）上的不变共形向量场,即,（i）左不变非Killing共形向量场;（ii）由导子诱导的共形向量场.对于左不变非Killing共形向量场:首先,证明若伪黎曼李群（G,＜·,·＞）上存在一个左不变非Killing共形向量场,那
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本文主要包含如下三部分内容:李群上的不变共形向量场、左不变伪黎曼Einstein度量以及3-李代数簇上的moment映射.第一部分研究符号为（p,q）的伪黎曼李群（G,＜·,·＞）上的不变共形向量场,即,（i）左不变非Killing共形向量场;（ii）由导子诱导的共形向量场.对于左不变非Killing共形向量场:首先,证明若伪黎曼李群（G,＜·,·＞）上存在一个左不变非Killing共形向量场,那么（G,＜·,·＞）是本质的（essential）.其次,令g为G的李代数,d=dim[g,g]dim g+min{p,q},我们证明若d≤1,则g是可解的.由此,可知具有左不变非Killing共形向量场的Lorentzian（min{p,q}=1）李群或者trans-Lorentzian（min{p,q}=2）李群是可解的.对于任意的min{p,q},我们构造了相应的非可解的伪黎曼李群例子.另一方面,我们给出了具有左不变非Killing共形向量场的Lorentzian李群的完全分类,特别地,证明了g的导代数[g,g]是某个广义Heisenberg李代数与Abelian李代数的直和.基于Lorentzian情形的分类,我们得到了相应的Lorentzian李群为共形平坦的一个简单判别准则.利用这一准则,我们给出了共形平坦与非共形平坦的Lorentzian李群.此外,我们证明了具有左不变非Killing共形向量场的Lorentzian李群是一个Ricci soliton,其可以是收缩的（shrinking）,稳定的（steady）或膨胀的（expanding）.对于由导子D∈Der（g）诱导的共形向量场:首先,我们指出由导子诱导的共形向量场是左不变非Killing共形向量场的自然推广.其次,我们证明如果导子D是不可逆的,那么这类伪黎曼李群（G,＜·,·＞）是本质的.此外,我们证明具有由导子诱导的共形向量场的Riemannian（min{p,q}=0）李群或者Lorentzian李群是一定可解的,且对于任意的min{p,q}=2,构造了相应的非可解的例子.最后,给出了Riemannian和Lorentzian情形的完全分类.第二部分研究Einstein可解流形上的伪黎曼Einstein度量.这里,称一个黎曼Einstein流形（M,g）为Einstein可解流形,如果其等距群Isom（M,g）中包含一个在M上作用可迁的可解群.我们证明每一个Einstein可解流形上都至少存在一个非平凡的伪黎曼Einstein度量.第三部分研究复约化群GL（n）作用在（?）上的moment映射（?）.特别地,我们研究了泛函Fn=（?）的临界点.首先,我们证明[μ]2PVn是Fn的一个临界点,当且仅当存在一个常数cμ2R以及一个导子D∈Der（μ）使得m（[μ]）=cμI+Dμ.进一步,证明了存在一个常数c＞0使得的特征值为彼此互素的整数.令Ln为所有n-维3-李代数的射影类,我们给出了Fn:Ln!R最大和最小值的刻画.同时,我们讨论了Fn的临界点结构.最后,作为一个应用,证明每一个三维3-李代数都同构于F3的某个临界点;且存在一族彼此不同构的四维3-李代数,它们不同构于F4的任何临界点.
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