约束的矩阵方程问题、最小二乘问题及其与相应最佳逼近问题在许多领域有其应用的背景.例如在粒子物理学和地质学,自动控制理论的逆问题,振动理论的逆问题,有限元及多维逼近问题等方面有重要的应用.本篇论文研究了约束矩阵方程AX+YB=E的最小二乘约束问题及其最佳逼近.表述如下：问题Ⅰ.给定A,B,E∈Rm×x，以及两个集合S1，S2,求X∈S1，Y∈S2使得‖AX+YB-E‖=min其中S1,S2分别为相应阶数的实矩阵集合、对称矩阵集合、反对称矩阵集合、中心对称矩阵集合与中心反对称矩阵集合.问题Ⅱ.给定A,B,E∈Rm×n，X∈Rn×n,Y∈Rm×m，求[X,Y]∈SE,使得其中SE为问题Ⅰ的解集合,‖·‖是Frobenius范数.本文首先提出了矩阵对的概念,由实矩阵空间的内积的定义和性质,导出了矩阵对的内积,由此导出矩阵对的范数.然后利用有限维子空间的投影定理,得到了求‖AX+YB-E‖=min问题的一般解、对称与反对称解、中心对称与中心反对称解的法方程组.利用共轭梯度法的思想和矩阵的结构特征,设计了迭代格式分别求矩阵方程AX+YB= E的最小二乘问题的一般解、对称与反对称解、中心对称与中心反对称解,分别证明了迭代法的有限步收敛性,并通过将方程适当变形及取特定的初始矩阵,迭代法能求相应的最佳逼近解.数值实例说明算法是有效的.