关于半群的有限基问题与量子仿射代数的表示的若干研究

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本文研究半群的有限基问题,量子仿射代数的表示及其应用的相关问题.主要研究了(?)(n=2,3),(?)(F)(|F|=2)的有限基问题,G2型扩展T-系统,XXZ型Bethe拟设方程的解的轨道与某些拟多项式空间的对应.具体内容如下.1.我们证明了长度为4的链上的所有扩展变换构成的幺半群是有限基的并且给出了它的一个有限等式基.这就完成了关于任意有限链上的所有完全扩展变换,所有部分扩展变换,所有部分保序扩展变换构成的幺半群的等式性质的刻画,完全解决了相关的公开问题.2.设(?)n为所有n×n上三角布尔矩阵构成的幺半群Volkov和Goldberg证明了当n>3时,(?)n是本质非有限基的.然而对n=2,3,(?)n是否是有限基的仍是公开问题.我们证明了幺半群(?)2是有限基的并且给出了(?)2的一个有限等式基.我们还证明了(?)3是本质非有限基的.因此(?)n是有限基的当且仅当n≤2.3.设(?)n(F)为一个有限域F上的所有n×n上三角矩阵构成的幺半群Volkov和Goldberg证明了当|F|>2且n≥4时,(?)n(F)是非有限基的.然而当|F|>2且n=2,3,或者|F|=2时,(?)n(F)的有限基问题仍是公开问题.我们证明了当|F|=2时,幺半群(?)n(F)是有限基的并且给出了(?)2(F)的一个有限等式基.并且,我们找出了(?)2(F),|F|=2,生成的簇的所有极大子簇.4.我们定义G2型量子仿射代数Uq(6)的模Bk,l(s),Ck,l(s),Dk,l(s),Bk,l(s),Ck,l(s),Ck,l(s),Dk,l(s),εk,l(s),Fk,l(s).证明了这些模满足一组3-项递归关系,称为扩展T-系统.扩展T-系统包含着著名的G2型T-系统.我们证明了G2型扩展T-系统中的模都是特殊的或者反特殊的,因此FM算法可以应用于这些模.我们定义了左模,右模,顶模,底模,以及源的概念.我们证明了顶模与相应的底模的张量积是不可约的,源是不可约的.利用扩展T-系统,我们计算了扩展T-系统中的模的维数公式.特别地,我们得到了Gz型极小仿射化模Bk,l(s),Bk,l(s)的维数公式.5.我们研究了XXZ型Bethe拟设方程.一方面,我们从某些拟多项式空间出发,构造了Bethe拟设方程的解.另一方面,从Bethe拟设方程的解出发,我们构造了某些拟多项式空间.这样就证明了XXZ型Bethe拟设方程的解的轨道与某些拟多项式空间一一对应.
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