【摘 要】
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设正整数数集{a1,a2,...,an}中任意两个不同元素的乘积与1的和都是完全平方数,则称{a1,a2,...,an}是一个丢番图数组(Diophantine tuple).丢番图数组猜想是说不存在5元丢番图
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设正整数数集{a1,a2,...,an}中任意两个不同元素的乘积与1的和都是完全平方数,则称{a1,a2,...,an}是一个丢番图数组(Diophantine tuple).丢番图数组猜想是说不存在5元丢番图数组,这是数论中最古老的未解决问题之一.2004年,Dujella证明了最大元素充分大的4元丢番图数组均不能扩张成5元。本文第2章,首先构造3元丢番图数组之间的(?)-算子,并对所有3元丢番图数组进行分类,利用Mignotte关于代数数对数线性型的深刻工具,和对Euler数组的新的同余式,证明了不存在5元丢番图元数组,解决了该猜想。本文第3章研究了丢番图数组强猜想,即:任意给定的3元丢番图数组,则扩展为具有更大元素的4元丢番图数组是唯一的.本章运用特殊数组的同余式的关系,将3-对数线性型转化为2-对数线性型.结合计算机程序,证明了对于任意包含{kk,4kk ± 4}的3元丢番图数组,该强猜想成立。本文第4章,考虑了全由Fibonacci数所组成的丢番图数组.运用Baker方法、无理数的渐进分数有关性质,证明了:若{F2n,F2n+2,Fk}是一个3元丢番图数组,除去当n = 2时有例外解kk = 1以外,均有k∈{2n + 4,2n—2}。
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