【摘 要】
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线性方程组是数值代数的重要研究对象,尽管一般的线性方程组的求解算法已经相当成熟,但针对大规模或求解有特殊需求的线性方程组,其求解算法依然是研究重点.许多问题可以通过
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线性方程组是数值代数的重要研究对象,尽管一般的线性方程组的求解算法已经相当成熟,但针对大规模或求解有特殊需求的线性方程组,其求解算法依然是研究重点.许多问题可以通过转化为线性方程组来求解,特定的线性方程组也能通过转化为其他问题从而获得最适当的算法.本文分别将大规模线性方程组,和在低精度下求解Hermitian矩阵的线性方程组转化为凸集可行问题和Hermitian矩阵特征分解问题.前者本文提出了新的随机Douglas-Rachford算法,后者本文在传统算法基础上提出了改进.针对大规模线性方程组转化为的凸集可行问题,本文将传统的随机Kaczmarz算法和Douglas-Rachford算法相结合,提出了随机Douglas-Rachford算法,并完成了期望意义下的收敛性证明.通过数值实验分析,随机Douglas-Rachford和随机Kaczmarz算法具有基本类似的收敛率.针对Hermitian矩阵的特征分解问题,传统的算法是先进行Lanczos三对角化,再用Sturm二分法求特征根,最后用反乘幂法求解特征向量.本文考虑低精度下小规模Hermitian矩阵特征值分解问题,利用选择重正交解决了 Lanczos算法在低精度下的误差,又通过引入迭代改善技术进一步提高了反乘幂法在低精度下的结果精度.通过数值实验,改进后的算法改善了低精度下传统算法计算误差大的问题.
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