非线性密码函数（简称为非线性函数）包含非线性布尔函数和非线性多输出布尔函数.对称密码学中的很多问题都可以转化为具有高代数次数,高非线性度和置换等良好密码学性质的非线性密码函数的构造问题.有限域上的完全置换多项式是一种密码性能比较良好的多输出布尔函数,它不仅在密码设计中有着重要的地位,而且完全置换多项式的构造以及研究方法对数论,群论等数学的许多分支有重要的影响.因此,非线性密码函数特别是完全置换多项式的构造和研究具有重要的理论和实际意义.由于移位寄存器系统与非线性密码函数联系紧密,本文从移位寄存器系统出发,综合运用代数学,有限域和组合学等工具研究具有密码学应用背景的非奇异多项式和完全置换多项式的构造等相关问题,具体成果如下:（1）目前主要是利用组合的方法来研究非线性反馈移位寄存器的圈结构,受向量空间的限制,非线性反馈移位寄存器圈结构的研究成果很少.为了寻找研究圈结构的新工具,非奇异F型反馈移位寄存器的状态转移函数所对应的有限域F2n上的置换多项式的单变元表达式是由我们首先给出的.在此基础上,得到了F型反馈移位寄存器非奇异性与具有一定线性结构的布尔函数之间的联系,这为F型非奇异反馈移位寄存器的研究提供了一个新的视角.给出了非奇异多项式的定义,考虑了某些非奇异多项式的代数次数以及非奇异布尔函数的非线性度.构造了一些具有高非线性度（非线性度达到最优）的非奇异二次布尔函数.另外,当n为奇数时,利用非奇异二次布尔函数构造了代数次数和非线性度同时达到最优的非奇异布尔函数.（2）由于已知的完全置换多项式类非常少,为了找到产生完全置换多项式的新的构造方法,我们利用移位寄存器系统中经典的Feistel和MISTY结构的递推关系来构造有限域上的完全置换多项式.首先通过两轮和三轮Feistel和MISTY结构的复合,利用F2n的子域F2n上的置换构造了F22n上的很多类完全置换多项式.同时,对任意的素数幂q,构造了一类Fq2上的完全置换多项式和两类Fqm上的完全置换多项式其中整数m不小于2.最后,确定了这些完全置换多项式的代数次数的上界,发现所构造的完全置换多项式中存在代数次数达到几乎最优的无限类完全置换多项式.这里有望找到有效抵抗代数攻击和立方攻击的优秀的S盒候选函数.（3）由于G型非奇异反馈移位寄存器的状态转移变换与有限域上的置换多项式是一一对应的,为运用有限域的知识研究G型非奇异反馈移位寄存器做准备,利用AGW准则,通过确定某些方程解的个数,系统的研究了有限域Fpn上来源于Kloosterman和恒等式的形如（xpm-x+δ）+axpm+bx的完全置换多项式,得到了大量的完全置换多项式类,极大的丰富了已知置换多项式和完全置换多项式的构造.