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子流形理论是微分几何基础研究中的一项重要课题.本文主要由常曲率空间中极小子流形的经典Simons不等式得到启发，把外围空间和子流形分别推广到拟常曲率黎曼流形和具有常平均曲率的子流形.通过估算子流形第二基本形式模长的平方的Laplacian，得到关于子流形的一些积分不等式，再通过限制子流形和外围空间得到一些基本的推论. 本文一共分为三章.第一章介绍了子流形理论的国内外研究现状，了解子流形理论主要研究的内容和方法，以及本文产生的缘由.第二章介绍了微分几何中的一些基本概念和定理.第三章是本文的重点，先给出了一些相关的基本的计算和引理,最后证明了本文的主要结论.