【摘 要】
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本文共分为四章，第一章回顾研究问题的历史背景与发展现状，对本文的主要工作进行简要的陈述，并在这章的最后给出本文所需的一些预备知识.其余的三章将分别讨论三类微分方程同宿
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本文共分为四章，第一章回顾研究问题的历史背景与发展现状，对本文的主要工作进行简要的陈述，并在这章的最后给出本文所需的一些预备知识.其余的三章将分别讨论三类微分方程同宿解的存在性和多解性，在第二章，利用变分方法和临界点理论讨论二阶Hamilton系统 q-L(t)q+WP(t, q)=0(HS)的同宿解的存在性和多解性，其中L∈c,(R,Rn2)是正定对称矩阵，W∈C1(R xRn, R),Wq(t, q)表示W(t, q)关于q的梯度.将分三种情况对(HS)进行讨论.即对势函数W关于q在无穷远处分别满足超二次位势，渐近二次位势和次二次位势的情形进行研究.在第三章，考虑非线性二阶微分方程q+Aq-L(t)q+Wp(t, q)=0(DS)的同宿解的存在性和多解性，其中A≠0。是一个反对称常数矩阵，L∈C(R,Rn2)是正定对称矩阵，W∈C1(R xRn, R),Wq(t, q)表示W(t, q)关于q的梯度.对应于第二章的情形将对势函数W关于q在无穷远处分别是超二次位势，渐近二次位势和次二次位势的情形展开讨论.在第四章，考虑下面二阶微分方程 q+cq+Uq(t, q)=0(FHS)的同宿解的存在性，其中C>0是常数，U∈C1(R xRn, R),Uq(t, q)表示U(t, q)关于q的梯度假设U具有如下形式 U(t,p)=-1/2(L(t)q,q)+W(t,q)，L∈(R xRn, R)是对称矩阵，W∈C1(R xRn, R).在这一部分由于技术的原因，只对势函数W在无穷远点满足次二次位势的情形给出一些结果，其它的两种情形目前还没有得到相应的结论.
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