【摘 要】
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本文研究三维不可压广义霍尔磁流体方程组:(?)这里t≥ 0,x∈R3,u(x,l)表示流体的速度场,p(x,t)表示液体压力,b(x,t)表示磁场,v表示流体的粘性系数,1/γ表示磁场的雷诺数,u(x,
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本文研究三维不可压广义霍尔磁流体方程组:(?)这里t≥ 0,x∈R3,u(x,l)表示流体的速度场,p(x,t)表示液体压力,b(x,t)表示磁场,v表示流体的粘性系数,1/γ表示磁场的雷诺数,u(x,0)= u0(x),b(x,0)=b0(x)分别表示速度场和磁场的初值.耗散项中的拉普拉斯项-△换成了一般的乘法算子m1和m2,定义为ζ1u(ξ)=m1(ξ)u(ξ)和ζ2b(ξ)=m2(ξ)b(ξ).当ζ12u=-△u,ζ22b=-△b时,方程组(0.0.1)就是不可压标准霍尔磁流体方程组,该方程组是从双流体欧拉-麦克斯韦(Euler-Maxwell)方程组或等离子体的动力学方程中推导出来的.如果去掉不可压标准霍尔磁流体方程组中的霍尔项▽ ×((▽ × b)× b),就简化成磁流体方程组.如果磁场b=0,不可压标准霍尔磁流体方程组就退化成了经典的Navier-Stokes方程.对于三维不可压标准霍尔磁流体方程组来说,弱解的整体正则性还是未解决的问题,主要困难在于由拉普拉斯算子-△提供的耗散不能够控制非线性项.作为方程组整体适定性中的重要内容,有必要对其进行研究.2015年,Wan得到了具有形式为m12(ξ)=|ξ|2α,m22|ξ|=|ξ|2β,其中α≥5/4，β≥7/4临界和超临界耗散的三维不可压霍尔磁流体方程组的全局光滑解.在本文中,我们对上述耗散进行了两种方式的减弱,分别得到了弱解的整体正则性和H1弱解的存在唯一性.第三章研究了三维不可压广义霍尔磁流体方程组弱解的正则性,受到广义Navier-Stokes方程、磁流体方程组的耗散中引入对数因子的启发,本文运用Littlewood-Paley分解方法,对三维广义霍尔磁流体方程组中的耗散进行了对数阶降低,得到了弱解的整体正则性.具体来讲,初始值(u0,b0)∈Hs(R3)且s>5/2,耗散形式为m1(ξ)≥(|ξ|α)/(g1(ξ))和m2(ξ)≥(|ξ|α)/(g2(ξ)),其中,α≥5/4,β≥7/4,以及g1,g2:R+→R+ 是满足∫1∞1/(s(g12(s))+(g22(s))2)ds=+∞的非增函数,证明霍尔磁流体方程组存在整体光滑解(u,b).第四章,我们研究具有部分方向耗散的三维不可压分数阶霍尔磁流体方程组,耗散形式为m1 =(|ζ1|5/4+|ζ2|5/4,|ζ2|5/4+|ζ3|5/4,|ζ1|5/1+|ζ3|5/4),m2(ζ)=(|ζ1|7/4+|ζ2|7/4,|ζ|7/4).(0.0.2)我们去掉了速度场u和磁场6某些分量上的耗散,通过能量估计方法,得到了弱解在H妒意义下的整体存在性和唯一性.具体结果如下:假设初值(u0,b0)∈H1(R3),且▽·u0=▽·b0 = 0,那么方程组在H1意义下存在唯一的全局解(u,b),并且,u和b的H1范数关于时间一致有界.在能量估计的过程中,为了看清霍尔项的内在结构,我们尽可能用最少方向的耗散来控制非线性项.只有霍尔项中最困难的3项,我们才用(0.0.2)提供的耗散去控制,其他项则用(0.0.3)中的耗散:m1 =(|ζ1|5/4+|ζ2|5/4,|ζ2|5/4+|ζ3|5/4,|ζ1|5/4+|ζ3|5/4),m2(ζ)=(|ζ1|7/4+|ζ2|7/4,|ζ|7/4).(0.0.3)当方程组(0.0.1)中去掉霍尔项后,则变成了3维广义磁流体(MHD)方程.作为推论,我们得到:若耗散形式为(0.0.3)时,广义MHD方程在H1意义下整体弱解存在且唯一,并且u和b的H1范数关于时间一致有界.
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