一类重构指数多项式的细分方法

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本文介绍了一种构造动态细分格式的方法,构造出的细分格式可以重构指数多项式空间,而且有一个松弛参数可以调整极限曲线的形状以及光滑性的阶数。随着指数多项式空间维数的不同分别按两种方式构造细分方法,奇数维空间对应Primal格式,偶数维对应Dual格式,这两种格式是按照细分自然参数化的不同方式来定义的。按照本文的构造方法构造的细分格式可以包含重构多项式空间的静态插值细分方法,以及一些逼近细分方法等。无论对于Primal格式还是Dual格式,构造过程主要是解线性方程组,如果第k层上的点是所对应空间中函数的点,则新产生的点也要是同一个函数在规定的参数上的点,然后列出掩模满足条件的线性方程组,求解细分系数,本文还给出了线性方程组的解的存在唯一性证明。指数多项式空间是通过常微分方程的解来定义的,空间中的函数在等间隔离散采样点上的值可以通过与常微分方程对应的差分方程的解来得到,而细分是对指数多项式空间中的函数在等间隔离散采样点上的值来做递归加细的,因此细分掩模自然的就与差分方程建立了联系,后面将利用差分方程理论给出细分掩模的更具体的形式。多项式作为指数多项式的特殊情况,其细分掩模可以更容易的给出,本文给出了比较详细的结果。对于动态格式我们给出了收敛性及光滑性的证明,找到了与他们渐近一致等价的静态格式,可以用经典的理论给出光滑性阶数。由于圆锥曲线是指数多项式空间的一个特例,这说明利用本文的方法可以给出重构圆锥曲线的格式,而且由于有了一个松弛参数,我们还给出了一种通过调整松弛参数来重构圆锥曲线的细分格式。最后给出几个实例,说明本文构造的格式可以包含几种重要的细分方法,以及产生新的有良好性质的格式。
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