公钥密码体制的安全性都是基于一些难解的数学问题，其中，许多密码体制的安全性基础是离散对数的计算困难性。离散对数问题最初作为一个数学问题，在数论中具有较长的历史；但是，随着移位寄存器序列在密码学中的应用，尤其是Diffie-Hellman密钥交换体制的诞生和广泛使用，离散对数计算问题引起了广泛兴趣。在Diffie-Hellman体制诞生后的三十多年时间里，离散对数计算问题在理论、方法和实现上都取得了一系列的进展。　　离散对数问题因其计算复杂、结构灵活多变为密码体制的设计提供了良好的安全性基础。目前，许多著名的密码体制都是基于离散对数的，如Diffie-Hellman密钥协商、ElGamal加密与签名方案、美国NIST的数字签名算法DSS，韩国的数字签名体制KCDSA，欧洲系统安全研究所开发的TESS等。目前，离散对数问题已经成为密码学研究中的一类重要原语。　　本文对离散对数问题进行了深入细致的研究。首先，详细介绍了本文的研究背景、研究意义、研究现状、数学基础、离散对数问题及其变体形式。接着，详细介绍了现有的离散对数问题的求解方法，并对所有的方法进行分类分析，进而列表对所有的求解方法从时间复杂度和空间复杂度两个方面进行比较。然后，对Baby-step Giant-step算法和Pollard Rho算法进行了优化，其中，在对Baby-stepGiant-step算法进行优化的过程中，对原算法和改进算法分步骤进行了对比分析，并且给出了新的哈希函数的设计方法，进一步通过表格的形式对原算法和改进算法进行了比较，从而证明了改进措施的可行性，最后对于该算法给出了其它的改进设想；在对Pollard Rho算法进行优化的过程中，通过图论模型的方法对原算法和改进算法分别进行了分析，并且给出了迭代函数的设计方法，给出了该算法的新的迭代函数，进一步通过实验对原算法和改进算法进行了比较，从而证明了对算法的优化是行之有效的，进而对于该算法给出了其它的改进设想。最后，详细介绍了离散对数问题作为一个公认的数学难题在密码体制设计方面上的应用，详细介绍了现有的几种主要的基于离散对数问题的数字签名体制。