本文主要研究的是弹性力学问题。首先介绍了以形变位移为研究对象的接触问题，并且分别说明了带摩擦的接触问题和带损伤的截断型弹性问题的解存在且唯一的条件。然后我们将带摩擦接触问题的研究对象变为应变张量，即得到原问题的对偶问题，证明了原问题与对偶问题之间解的互通性，同时推导得到对偶问题的解存在且唯一的条件。　　其次，在粘弹性接触模型下，我们研究了接触边界为包含形式的情况，也就是接触条件由非单调算子控制，且该算子是具有Clarke次微分形式的单值或多值算子。从无摩擦粘弹性接触模型中，我们简化得到含伪单调性椭圆算子的抛物型变分-H半变分不等式，对该不等式在时间上的离散格式进行分析，即Rothe问题。我们证明了Rothe问题解的存在性和原问题解的唯一性，给出了Rothe问题解的收敛性和正则性结果，并进行了二维数值模拟。　　最后，本文的研究重点是一类弹性模型中的反问题，研究的目标是由观测数据来反演边界上的牵引力。我们利用优化控制问题的思想来刻画这一目标，并说明了反问题至少存在一个解。然后对目标泛函引入Tikhonov正则化方法来证明正则化后的反问题解是唯一存在的，而且当正则化参数趋于0时，正则解是收敛到原反问题中L2范数最小的那个解。此外，我们推导得到依赖于正则化参数的数值解的误差估计。特别地，我们分别推导得到了无摩擦接触问题和带损伤的截断型弹性问题的伴随问题，利用伴随问题得到了反问题解的约束不等式，并以此构造了迭代算法进行数值模拟。