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在子流形几何中,刚性问题和变分问题是两类重要问题,被几何学家广泛研究。刚性问题可以通过各种拼挤(pinching)定理来反映。对变分问题,我们可以研究临界点的稳定性和Jacobi算子的特征值。在本文中,我们运用子流形几何研究中的一系列方法,研究了乘积流形中的极小子流形的刚性和稳定性,球面中线性Weingarten超曲面的稳定性和特征值问题,以及乘积流形到任意黎曼流形的稳定调和映照。主要结果有三个方面：首先,我们研究了Sm(1)×R中的紧致极小子流形的刚性。我们得到了一个Simons型等式,进而分别证明了在Ricci曲率和截面曲率的拼挤条件下,关于Sm(1)×R中的紧致无边极小子流形的拼挤定理。通过上述拼挤条件,我们推出极小子流形实际上位于Sm(1)×{t0}≌Sm(1)中。通过Ricci曲率的拼挤条件,我们刻画了Clifford极小超曲面。通过截面曲率的拼挤条件,我们刻画了Veronese子流形。其次,我们用泛函F=∫M(a+nH)dv在保体积变分下的临界点刻画了Sn+1(1)中满足(n-1)H2+aH=b的线性Weingarten超曲面,其中a,b是常数。我们计算了该泛函的第一变分公式和第二变分公式,证明了此类线性Weingarten超曲面是稳定的当且仅当它是全脐但非全测地的超曲面,这推广了关于球面中的常平均曲率和常数量曲率超曲面的稳定性结果。我们还得到了与该变分问题相关联的Jacobi算子的第一特征值和第二特征值的最优上界估计。最后,我们研究了乘积流形中的紧致极小子流形的稳定性。我们证明了一个关于M1×M2中的稳定紧致极小子流形的分类定理,其中M1是欧几里得空间中的紧致超曲面,其维数m1≥3且截面曲率KM1满足1/(?)m1-1≤Km11≤1,M2是任意黎曼流形。这推广了Torralbo和Urbano的关于Sm(r)×M中的稳定紧致极小子流形的分类结果。特别地,我们证明了,当外围空间是M是欧几里得空间中的m维(m≥3)紧致超曲面且截面曲率满足1/(?)M+1≤KM≤1时,M中不存在稳定的紧致无边极小子流形。