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本文研究了超空间上弱半、弱连续的性质,获得了以下结果:
1(1)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则下列条件等价:(i)f是弱下半连续(ii)对A,f*(A)(f*(A))o(iii)对B/,(f*(Bo))f*(B)；(2)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则下列条件等价:(i)f是弱下半连续(ii)对APo(Y),(f*(A))f*(A)(iii)对BPo(Y),f*(Bo)(f*(B))o(3)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则下列条件等价:(i)f是弱下半连续；(ii)对P0(Y)中每个开集A,f*(A)是X中的半开集；(iii)对P0(Y)中每个闭集B,f*(B)是X中的半闭集；(iv)xX,对P0(Y)中任意开集G且xf*(G),任意S收敛于x的网xn:nD最终在f*(G)中；(4)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则下列条件等价:(i)f是弱下半连续；(ii)对Y中的任意子集网An:nD,Slimf*(An)f*(limAn)(iii)对Y中的任意子集网An:nD,Slimf*(An)f*(limAn)(5)f:X→P_0(Y)为弱下半连续集值映射当且仅当f为弱下半连续集值映射。(6)设(X,T)是拓扑空间,(Y,d)是度量空间,则集值映射f:X→P_0(Y)为弱下半连续当且仅当对x0X,0和yf(x0),存在使得VSUx0y{B(f(x))xV}。(7)设X是拓扑空间,Y是赋范空间,若f:X→P_0(Y)为弱下半连续集值映射,则cof:X→P_0(Y)也为弱下半连续集值映射。(8)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则下列条件等价:(i)f是弱上半连续；(ii)对A,有f*(A)(f*(A))o；(iii)对B/,有(f*(Bo))f*(B)。(9)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则下列条件等价:(i)f是弱上半连续；(ii)对P0(Y)中每个开集A,f*(A)是X中的半开集；(iii)对P0(Y)中每个闭集B,f*(B)是X中的半闭集；(iv)xX,对P0(Y)中任意开集U且xf*(U),任意S收敛于x的网xn:nD最终在f*(U)中。(10)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则下列条件等价:(i)f是弱半连续的；(ii)对P0(Y)中任一开集A,f*(A)与f*(A)均是X中的半开集；(iii)对P0(Y)中每个闭集B,f*(B)与f*(B)均是X中的半闭集；(11)设Y是正规空间,f:X→P_0(Y)为弱上半连续集值映射,则f也为弱上半连续集值映射。
2(1)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则下列条件等价:(i)f是下弱连续；(ii)对AP0(Y),有(f*(A))f*(A)(iii)对P0(Y)中的每个闭集A,f*(A)是X中的闭集；(iv)对P0(Y)中的每个开集B,f*(B)是X中的开集。(2)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则f是下弱连续当且仅当对CP0(Y),有f*(Co)(f*(C))o。(3)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则下列条件等价:(i)f是下弱连续；(ii)对D,有(f*(D))f*(D)；(iii)对E/,有f*(Eo)(f*(E))o。(4)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则下列条件等价:(i)f是下弱连续；(ii)对Y中的任意子集网An:nD,limf*(An)f*(limAn)；(iii)对Y中的任意子集网An:nD,limf*(An)f*(limAn)。(5)设(X,),(Y,)是拓扑空间,f:X→P_0(Y)是集值映射,则下列条件等价:(i)f是上弱连续；(ii)对A,有(f*(A))f*(A)；(iii)对B/,有f*(Bo)(f*(B))。