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1970年，Erdos，Herzog和Schonheim证明了：设D是正整数N的正因数构成的一个集合，|D|=m，且N的标准分解式为N=ptα1…pnαn，α1≥α2≥…≥αn.如果D中元素两两不互素并且不能添加N的其它因数使得新构成的集合中元素依然两两不互素，则m≥αn∏ni=1n-1(αi+1).为了叙述方便，我们将满足上述条件的集合D称为极大N-集，并且规定文章中出现的因数均是指正因数。他们在文章末尾提出了一个问题：试刻画出使得等号成立的所有极大N-集D。在本文中我们解决了这个问题，主要的结论如下(Discrete Applied Mathematics(2012)，doi：10.1016/j.dam.2012.02.013)： 设N=p1α1…pnαn为N的标准分解式，其中α1≥α2≥…≥αu>αu+1=…=αn。 (1)若αn≥2，则D是一个极大N-集且当且仅当存在v，u+1≤u≤n满足 (2)若an=1，则D是一个极大N-集且当且仅当存在一个极大Pu+1…Pn-集D’使得 (3)若an≥2，D是一个极大N-集，记 d(D)={d∈D：对任何d’∈D＼{d}都有df d}，则当且仅当d(D)={pv)对于某个u+1≤v≤n成立。 (4)若αn=1，D是一个极大N-集，则当且仅当d(D)∈{d：d|pu+1…pn}(d(D)的定义同上)。 (5)若αn=1，集合T1，…，Tk是所有由pu+1…pn的正因数构成并且满足以下三个条件的集合T： (a)集合丁中的元素两两不互素； (b)集合T中的元素没有整除关系； (c)pu+1…pn中的任一因数或者与集合T中的某个元素互素，或者被集合T中的某个元素整除，则R(T1，N)，…，R(Tk，N)就是所有满足的极大N-集D，其中R(Ti，N)=∪t∈Ti{d：d|N，t|d}。 (6)若αn≥2，则R({pu+1}，N)，…，R({pn}，N)就是所有满足的极大N-集D.(R({pi}，N)的定义同上)。