【摘 要】
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本文主要讨论Riemann-Hilbert方法和Darboux变换在可积系统中应用。利用Fokas统一方法,证明了Chen-Lee-Liu方程和复Sharma-Tasso-Olver方程在半直线上的初边值问题解可用Riemann-Hilbert问题的解表示;从两个离散等谱问题出发,导出了二类新的在Liouville意义下可积的并具有Hamilton结构的方程族,进一步借助Lax对的规范变换构造了离
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本文主要讨论Riemann-Hilbert方法和Darboux变换在可积系统中应用。利用Fokas统一方法,证明了Chen-Lee-Liu方程和复Sharma-Tasso-Olver方程在半直线上的初边值问题解可用Riemann-Hilbert问题的解表示;从两个离散等谱问题出发,导出了二类新的在Liouville意义下可积的并具有Hamilton结构的方程族,进一步借助Lax对的规范变换构造了离散方程族中二个典型方程的Darboux变换,作为Darboux变换的应用,给出了两类离散可积方程的精确解。本文具体研究内容安排如下:第一章,首先介绍Riemann-Hilbert方法和Darboux变换的国内外发展状况及主要应用、符号计算在可积系统中应用,最后介绍本文的主要工作和章节安排。第二章,分析了 Chen-Lee-Liiu方程在半直线(-∞,0]上具有快速衰减初值的初边值问题,利用Fokas统一方法,证明了Chen-Lee-Liu方程初边值问题解可用Riemann-Hilbert 问题的解表示,而初边值条件所定义的谱函数满足全局关系。第三章,分析了复Sharma-Tasso-Olver方程在半直线（0,∞）上的初边值问题,利用Fokas统一方法,证明了复Sharma-Tasso-Olver方程初边值解可用Riemann-Hilbert问题形式的解表示,值得注意的是,第二章的Chen-Lee-Liu方程是二阶微分方程,而复Sharma-Tasso-Olver方程为三阶微分方程,所需要的边值条件更多,使得在利用Fokas方法分析CSTO方程的Riemann-Hilbert问题时复杂了很多。第四章,从一个离散新等谱问题出发,导出一个新非线性可积晶格方程族,证明了此晶格方程族在Liouville意义下是可积的并具有Hamilton结构,最后建立了晶格方程的Darboux变换,作为Darboux变换的应用,构造了晶格方程的精确解。第五章,从一个离散新等谱特征值问题,导出了二族正、负离散方程族,证明了这两个方程族在Liouville意义下是可积并具有Hamilton结构,进一步,借助Lax对的规范变换,建立了方程族中二个典型方程的N-次Darboux变换,作为Darboux变换的应用,给出N=1和N= 2所对应精确解的具体表达式,并分析了解的性质。
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