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本文共有五章。第一章分为五节，主要讨论了在曲率渐近非负的流形上，由
对一固定指数的多项式增长的调和函数所组成的空间的维数。第二章包括三节，
我们讨论了径向Ricci曲率渐近非负流形上的本性谱。第三章包含三节，主要研
究了双曲空间形式的Hessian方程的边值问题。第四章包括两节，主要讨论双曲
空间中具有平行平均曲率的紧致子流形的一个分类。第五章共有四节，我们主要
研究常曲率空间中具有常标量曲率的紧致子流形的一个分类。
第一章是关于曲率渐近非负的完备非紧流形上的调和函数，共包含五节。在
第1.1节中，我们给出了我们所要证明的
定理1.1.1设M为曲率渐近非负的完备非紧Riemann流形，如果其调和函数是
对一固定的指数的多项式增长，那么这些调和函数所组成的空间是有限维的。
在第1.2节中，我们给出了一些定义与记号，如：曲率渐近非负，是指
KM(x)≥-λ(r(x))，这里λ(·)是定义在[0，+∞)上非增非负函数，且∫∞0rλ(r)dr＜+∞，
这里r(x)=dist(p,x)，p为M上的固定点。对一固定指数的多项式增长的调和函数
所组成的空间，我们记为：Hd(M)=｛u为调和函数，且|u|≤c(rd+1)}。另外，还
给出了证明定理所需满足的三个性质：
性质1.2.4若M为曲率渐近非负的完备、非紧n维流形，则对(A)x∈M，(A)r≥0，
有
Vx(2r)≤CDVx(r)
这里Vx(r)=Vol(Bx(r))，Bx(r)=｛y∈M|dist(x，y)＜r}。
性质1.2.5 在曲率渐近非负的完备、非紧n维流形M上成立局部的
Neumann-Poincare不等式：即存在常数CN，使得对
(A)x∈M且r(p，x)≥rm0+4r(r＞0)，f∈Wloc1.2(M)，有(公式略)
这里A=∫Bx(2r)f/Vx(2r)，m0＞1且为与n有关的某一常数。
性质1.2.6 如果λ＞1，u为Mn上任一调和函数，对(A)x∈Mn和r＞0，则
(E)CF=CF(λ)＜∞，使得(公式略)
在第1.3节中将证明性质1.2.4，性质1.2.5在第1.4节中证明，而性质
1.2.6已有邱成桐证明了，故我们只是陈述。最后一节即第1.5节我们将利用这
三个性质及一些引理来证明定理1.1.1。
关于Ricci曲率在紧集外不是非负的情况下，Laplacian算子△的本性谱还未
见有过讨论，因此，第二章讨论了径向Ricci曲率渐近非负完备非紧流形的本性
谱。其中第2.1节给出了如下一些定理定义。
定理2.1.1设M是一个具有极P的n维完备非紧黎曼流形，且其在一个紧集K
外，径向Ricci曲率≥-n-1/4(r-a)2，其中K(∈)B(P，a)，r指到P的距离，那么其
σess(△)=[0，+∞)。
定义2.1.2一个完备黎曼流形称为Ricci曲率渐近非负的，如果对工(A)x∈M，有
Ricci(x)≥-λ(dist(x，P))
这里λ(t)是一个R+上的正的实值函数，而且适合∫a+∞tλ(t)dt＜+∞，a＞0，P是M
上固定的点。
定理2.1.1的关于Ricci曲率的条件较之Ricci曲率渐近非负更强，因为Ricci曲
率渐近非负是指在无穷远处λ(t)≥O(t-2+ε)和Ricci≥-λ(t)，因此下面的系是显然
的。
系 如果M是一个具有极的n维黎曼流形，而且其之Ricci曲率渐近非负，则其
之Laplacian算子△的本性谱σess(△)=[0，+∞)。
在第2.2节中给出了与定理2.1.1的证明有关的知识：因为在一个n维完备
非紧黎曼流形M上的Laplacian算子△是在L2(M)上的自共轭算子， 因而其谱
是非负实数。而且对于本性谱，有下面的定理
定理Aλ∈σess(△)(=)对(A)ε＞0，都存在一个D(△)的无穷维子空间G，使得对
每一个f∈G，都有‖△f-λf‖＜ε‖f‖，这里‖·‖是L2上的模。
在第2.3节中，通过构造函数，利用在第二节中给出的相关引理和定理来证
明定理2.1.1。
第三章研究关于双曲空间形式的边值问题，得到如下两个定理：
定理3.1.1设M是一个具有光滑边界的紧黎曼流形，方程
D2ψ=ψg (3.1.3)
对于Dirichlet边值问题与Neuman边值问题都没有非平凡解。
这里非平凡解，即指ψ≠0，因为ψ为非零常数时，显然不适合式(3.1.3)。
定理3.1.2设M是具有光滑边界的紧黎曼流形，如果对于
{D2ψ=ψg， 在M上
ψ+b(a)ψ/(a)v=0，在(a)M上，b＜-1
(3.1.4)
有非平凡解，则M等度量同构于Hn(-1)中半径为1/2lnb-1/b+1的测地球，即外围
Minkowski空间中1≤x0≤(1-b-2)-1/2的紧区域，而且这里b＜1的限制是不可少
的，当b在此范围之外，式(3.1.4)依然无解。
第四章研究了双曲空间Hn+p(-1)中具有平行平均曲率的紧致子流形，本章
共有两节。第4.1节是准备知识，给出了如下一些定义及性质：
设Mnc Hn+p(-1)，约定记号(公式略)
在Hn+p(-1)中选取局部标准正交基｛eA}，限制在M上，使其与M相切。设{ωA}
和{ωAB}分别为H+P(-1)的对偶标架场和联络1一形式。把这些形式限制在M上，
我们有(公式略)
这里h，ξ，Rijkl和rabkl分别为M的第二基本形式，平均曲率向量，曲率张量和法丛
曲率张量。我们记(公式略)
定义4.1.1若ξ在M中的法丛平行，称M为平行平均曲率子流形。
因此可选取en+1，使n+1∥ξ，trHn+1=nH且rtHβ=0，β＞n+1。
记SH=∑i,j(hn+1ij)2，SI=∑i,jβ≠n+1(hβij)2。
性质4.1.2 M为平行平均曲率子流形，则H=Const且Hn+1Hβ=HβHn+1。
在第4.2节中，我们利用上述定义、性质以及一些相关引理，得到了一些定
理以及有关推论。
设H2≥4(n-1)/n2，不妨设H＞0。令
α(n,H)=-n+n3/2(n-1)H2-n(n-2)/2(n-1)√n2H4-4(n-1)H2
定理4.2.1 设Mn是Hn+p(-1)中具有平行平均曲率的紧致子流形，当
S≤α(n，H)时，或者M为伪脐点的，或者S=SH=α(n，H)，且M为全测地子
流形Hn+1(-1)中的两个全脐点常曲率子流形的黎曼积。
推论4.2.2 设Mn是Hn+1(-1)中具有平行平均曲率的紧致子流形，当
S ≤ α(n，H)时，或者M为全脐点的(当H2≠1时)或者M为两个全脐点常曲率
子流形的黎曼积。
定理4.2.3 设Mn是Hn+p(-1)(n≥3)中具有平行平均曲率的紧致子流形，当
S≤α(n，H)时，或者
(1)SH=nH2，SI=0，即M为全脐点的，
或者
(2)SH=S=α(n，H)，即M为全测地子流形Hn+1(-1)中的两个全脐点常曲率
子流形的黎曼积。
定理4.2.4 设M2是H2+p(-1)中具有平行平均曲率的紧致子流形，当
S≤α(2，H)且H2≠1时，则或者M是全脐点，或者M是两个全脐点常曲率子流
形的黎曼积。
第五章共包含四节，分析了常曲率空间Nn+p(c)(这里c=1，-1)中具有常标
量曲率的紧致子流形问题。我们利用第5.2节中的准备知识在第5.3节和第5.4
节中分别证明了下述定理5.1 1和定理5.1.2。
定理5.1.1设Mn(n≥3)是N+p(c)中具有常标量曲率n(n-1)r的紧致子流形，
当第二基本形式模的平方S ≤α(n，r，c)时，则M等距与全脐点子流形Sn(r)或者
全测地子流形Nn+1(c)中的两个全脐点常曲率子流形的黎曼积，这里(公式略)
定理5.1.2设M。是常曲率空间N2+p(c)中具有常标量曲率n(n-1)r的紧致子流
形，当r≥0时，则M2或者是极小曲面(当c=1时)，或者是全脐点子流形S2(r)。