【摘 要】
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四阶张量是矩阵的高阶推广,在信号处理、无线通信系统、图像处理、数据分析和高阶统计中有着广泛的作用.作为张量分析和计算中的重要工具,张量特征值因在医学核磁共振成像、数据分析、偶数阶多元形式的正定性判定等领域有着重要应用而备受关注,并逐渐成为了研究的热点问题.本学位论文在前人研究的基础上,对四阶张量特征值包含集及正定性进行了研究,并改进了已有的一些理论结果.主要内容如下:在第一章中,介绍了张量特征值问
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四阶张量是矩阵的高阶推广,在信号处理、无线通信系统、图像处理、数据分析和高阶统计中有着广泛的作用.作为张量分析和计算中的重要工具,张量特征值因在医学核磁共振成像、数据分析、偶数阶多元形式的正定性判定等领域有着重要应用而备受关注,并逐渐成为了研究的热点问题.本学位论文在前人研究的基础上,对四阶张量特征值包含集及正定性进行了研究,并改进了已有的一些理论结果.主要内容如下:在第一章中,介绍了张量特征值问题的研究背景和国内外的研究近况,并给出了有关张量特征值的一些定义.在第二章中,利用Z-单位张量建立了两个四阶张量的Z-特征值包含集,这些结果比已有的一些结果更为精确.数值算例验证了所得结果的有效性.作为应用,本章给出了四阶对称张量正定性的一些可检验的充分条件以及四阶非负张量的Z-谱半径的上界,并在适当的条件下估计了贪婪秩一算法的收敛速度.在第三章中,通过引入M-单位张量,得到了两个四阶部分对称张量的含n个参数的M-特征值包含区间.其次给出了判断其正定性的相关定理,并进一步提出了四阶部分对称非负张量的M-谱半径的界估计.在第四章中,基于非负弹性张量的谱理论,在没有不可约条件下,建立了弹性Z-张量的最小M-特征值的上界和下界,所得结果改进了现有结果.并用数值算例展现了我们方法的优越性.在第五章中,对本论文的内容做了简要总结,并提出了以后可研究的课题.
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