有限元渐近展式与外推的研究是有限元高精度理论的一个重要组成部分，是有限元超收敛理论研究的延续和深入，本文就几类基本的三角形网格，对线性元和二次元的渐近展式与外推作出了系统而深入的分析，发现了一些重要的具有一般性质的基本特征，在对被逼近函数光滑性要求比较高的条件下，获得了上述有限元的渐近展式与外推结果，所用方法主要是构造性的，包括有限元空间的正交分解方法，单元合并技术，能量嵌入方法，分离变量法以及Fourier分析方法，所得结果主要有： 1．在第二章中，我们分别针对常系数与变系数情形下的Criss-Cross线性元，通过应用有限元空间的正交分解方法与单元合并技术，得到了这两种情形下关于Criss-Cross线性元的渐近展式与外推结果，进而得到了整个区域上的超收敛结果。 2．在第三章中，我们分别针对Union Jack线性元与Chevron线性元，通过应用能量嵌入方法、分离变量法以及Fourier分析方法，得到了构造离散调和补函数的特征引理，进而构造出了有限元渐近展式中的正则项部分与高频振荡项部分，由此得到了在这两种情形下的有限元的渐近展式与外推结果，并得到了相应的高精度组合公式。 3．在本文的第四、五章中，我们将在第二、三章中所使用的方法分别推广到Regular网格与Criss-Cross网格下的二次有限元空间中，得到了这两种情形下的有限元的渐近展式与外推结果，并构造出了相应的高精度组合公式。