微分方程在实际中有着广泛的应用，凡是与变化率有关的问题几乎都可以用微分方程模型来研究.为了弄清一个实际系统随时间变化的规律，需要讨论微分方程解的性态.而研究微分系统解的性态，主要通过求其解（数值解，分析解，级数解）或定性分析来实现.当微分系统为周期系统时，我们通常采用Poincaré映射来研究其周期解的性态.本文主要应用了Mironenko的反射函数理论研究了牛顿方程的反射函数，并应用所得结论建立了周期牛顿方程的Poincaré映射，研究了其周期解的定性性态.　　首先我研究了齐线性牛顿方程x"+a(t)x+b(t)x=0的等价系统[xy]=A(t)[xy]的反射矩阵F(t)的结构，并得出F(t)=H(t)eα(t)，detH(t)=1，H(t)=[h1(t)h3(t)h2(t)/h1(t)]，h1，h3为奇函数结构形式.接下来讨论了微分系统[xy]=B(t)[xy]以H(t)=[h1h3h2/h1]为反射矩阵的充分条件.　　在本文中首先讨论了系统x=B(t)x分别具有h1(-t)=h1eβ或h3=k(t)h2等特征的反射矩阵H(t)=[h1h3h2/h1]的充分条件，进而讨论了当B(t+2ω)=B(t)时，该周期线性系统x=B(t)x周期解的个数及稳定性态.　　其次，我们讨论了非齐线性牛顿方程x"+a(t)x+b(t)x=(ψ)(t)以及与其等价的微分系统[xy]=A(t)[xy]+φ(t)的反射矩阵F(t，x，y)=F1(t)[xy]+F0(t)的充分条件，并应用所得结果讨论了当该非线性系统为周期系统时，其周期解的性态.　　最后本文对于所得结论的正确性，可行性，在第四部分中给出例子进行验证.