混合范数Lebesgue空间可以看成是经典Lebesgue空间的一个推广,它起初源于1960年H（?）rmander对平移不变算子的研究。1961年,Benedek和Panzone通过使用向量值参数p替代单参数p给出了混合范数Lebesgue空间的定义和基本性质。以Benedek和Panzone的研究为基础,人们逐渐开始研究其他的混合范数函数空间。例如,混合范数下的Besov空间,Sobolev空间,Bessel势空间,Triebel-Lizorkin空间,Lorentz空间,Banach函数空间,Hardy空间以及Morrey 空间。同时,经典分数阶Sobolev函数空间是基于Gagliardo意义下的分数阶导数来刻画的。相比于具体的导数定义,这类分数阶导数是以积分形式来定义空间中的半范数。在一些实际的应用问题中,全局意义下的积分可以关联Fourier变换等数学工具去进行研究,所以分数阶Sobolev空间还可以应用在与许多涉及到空间变量和时间变量物理过程的物理背景问题相关联的偏微分方程当中。由于混合范数函数空间相比较原经典函数空间有更好的空间结构,因此,在本文中我们主要去探究混合范数意义下的分数阶Sobolev空间,即各向异性分数阶Sobolev 空间。在本文中,我们将得到以下主要结果。首先,在引入混合范数Lp空间、混合范数不等式和标准光滑磨光函数等内容的基础上,我们定义各向异性分数阶Sobolev空间Ws,p（Rn）。同时,我们建立了空间Ws,p（Rn）的若干性质:当分数阶参数s,s满足s＜s的序关系时,Ws,p（Rn）可按范数拓扑连续嵌入Ws,p（Rn）。各向异性整数阶Sobolev空间W1,p（Rn）也可以连续嵌入到空间Ws,p（Rn）中。除此之外,我们还证明了光滑函数与各向异性分数阶Sobolev空间中元素的点态乘积仍然被吸收到该空间当中,由该结论我们还可以得到Cc∞（Rn）在Ws,p（Rn）中稠密。对一些具备特定几何性质的欧氏空间中的区域,我们推导出这些区域上的混合范数Poincaré不等式。其次,我们证明了各向异性分数阶Sobolev空间的嵌入定理,即在合适的参数条件下,各向异性分数阶Sobolev空间Ws,p（Rn）可以连续嵌入到空间Lq（Rn）中。更具体的,一方面,由于在混合范数Lp空间中既无法进行一般的积分换序运算,也无法直接将经典分数阶Sobolev空间嵌入定理中所涉及到的级数和积分估计进行混合范数形式的推广。因此,在本文中我们使用积分表示形式将各向异性Sobolev空间中的函数扩展至区域R+×Rn上,并且我们结合Laplacian基本解和卷积将扩展函数分解成有限项进行估计。另一方面,对比经典情形中参数乘积sp与空间维数n之间大小关系的若干情况,我们选取分数阶参数s的算数平均组合Σi=1nsi/n去定义判别向量p*=（np1/（n-s1p1）,,npn/（n-Snpn））。我们使用该判别向量将经典嵌入定理的参数条件赋予到向量q的每个维度上。我们收集所有由组合（S1,,Sn）定义的判别向量所决定的向量q去构建嵌入定理的参数条件。在本文的后半篇幅,我们则会着重探讨关于各向异性分数阶Sobolev空间的区域延拓性。我们证明在欧氏空间中,任意正则区域具有（s,p）-延拓性。特别地,在验证延拓性质的过程中,我们使用与极大函数有关的Fefferman-Stein不等式给出方向极大函数的混合范数有界性。我们还使用特殊角度的方向极大函数对一般极大函数在Ws,p（Rn）中半范数的积分形式进行点态估计。最后,应用正则域的（s,p）-延拓性,我们证明正则域Ω上的各项异性分数阶Sobolev空间Ws,p（Ω）可以连续嵌入到H（?）lder空间C0,α（Ω）中,其中α=s-1/p1-…-1/pn。