【摘 要】
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本文对具有物理、生物、医学等背景的非线性偏微分方程（主要是反应扩散方程）的行波解及传播现象进行分析.研究内容包括以下四部分.在第一部分,我们考虑了一类具有点火温度动力学的预混火焰模型,该模型描述了厚火焰的动力学并区别于经典的Arrhenius动力学.当Lewis数很大时,会观察到脉冲不稳定性,我们试图用数学方法对其进行刻画.我们将火焰视为自由交界面问题中要确定的交界面,将其转化为完全非线性的抛物方
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本文对具有物理、生物、医学等背景的非线性偏微分方程（主要是反应扩散方程）的行波解及传播现象进行分析.研究内容包括以下四部分.在第一部分,我们考虑了一类具有点火温度动力学的预混火焰模型,该模型描述了厚火焰的动力学并区别于经典的Arrhenius动力学.当Lewis数很大时,会观察到脉冲不稳定性,我们试图用数学方法对其进行刻画.我们将火焰视为自由交界面问题中要确定的交界面,将其转化为完全非线性的抛物方程并证明了Hopf分叉的存在.在第二部分,我们考虑由Berestycki等人提出的区域-道路模型,该模型描述了带大扩散的道路对入侵物种传播的影响.我们首先在空间周期环境下证明了渐近传播速度的存在性并且它恰好是周期行波解的最小波速.然后我们考虑该模型对应的椭圆问题,我们分别在有界和无界的条形区域上证明了其椭圆问题非平凡弱解的存在性.在第三部分,我们考虑双稳方程在RN中的左端为柱形,右端为开口锥形的漏斗状区域中的传播现象.我们分析从左端柱形区域以平面波出发、并向右端锥形部分移动的整体解的长时间动力学性质.我们证明了传播和阻断二择一性质,并证明了任何完全传播的解都是一个过渡波,且该过渡波的全局平均速度即为双稳平面波的唯一波速,并且当时间充分大时在右端锥形域中该解的水平集会夹在两个扩展球面之间.此外,我们就柱形区域的截面半径R和锥形张角α给出充分条件,使得从平面波出发的解能够传播或者传播被阻断.最后,我们证明了使得解完全传播的参数（R,α）的集合的开性.在最后一部分,我们考虑一类由均衡介质中的反应扩散方程拼接构成的一维模型.为了描述物种个体在拼块边缘的移动行为,该模型中引入了新颖的交界面条件.首先,我们在空间周期环境下严格的证明了该模型Cauchy问题解的适定性,并研究了在正负方向解的传播性质和周期行波的存在性.然后,我们继续考虑R上的两个均衡介质栖息地的情形.对KPP-KPP情形,我们证明了解的传播现象.对KPP-双稳情形,我们给出了不同的条件,使得Cauchy问题的解可以表现出不同的动力学性质,即传播阻断、虚拟阻断或者传播三种情况.特别地,当解能够传播时,我们证明了双稳行波的一个全局稳定性结果.最后,KPP-双稳条件下得到的结果在某些条件下可推广到双稳-双稳情形.
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