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傅立叶变换作为最基本的信号时频变换工具,其应用几乎深入到科学和工程技术的各个领域。由于快速傅立叶变换(Fast Fourier Transfrom,FFT)的存在,离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)成为傅立叶分析数字化计算的基础。然而随着科学技术的快速发展和应用要求的不断提高,逐渐对传统的一套傅立叶分析方法提出了新的挑战。如离散傅立叶变换只能计算位置等间隔均匀分布的信号,而现在在有些情况下所采集到的数据是非均匀分布的,如螺旋采样核磁共振成像技术等;有些情况下需要估计分布在有限区间上的信号的傅立叶变换,如利用傅立叶变换的卷积定理来快速求解物理方程,然而通过离散傅立叶变换计算的速度和精度有时都不够高;在利用离散傅立叶变换估计信号的频谱时,采样点的数目需要满足Nyquist采样定理, Nyquist采样定理的适用对象是频带有限的信号,而实际中会有些情况下会遇到频带无限的信号。本文针对计算有限区间上分段连续信号傅立叶变换的问题进行了研究,提出了一种高精度快速的计算方法。该方法具有和FFT方法相似的计算复杂度,然而在计算精度和对采样点数目的要求上比DFT方法有很大的优势。 本文首先分析了Nyqusit采样定理对有限区间上分段连续信号的限制的来源,指出了不低于Nyqusit采样密度的要求不是来源于信号本身,而是由应用DFT方法时的离散化方式引入的。接下来针对一维问题,通过改变数值计算的离散化方式和利用高阶的数值方法,提出了估计分布在有限区间上的分段连续信号的傅立叶变换的计算方法,由于在计算的过程中考虑了信号不连续位置的分布情况,称该方法为一维(1D)共形傅立叶变换算法(conformal Fourier transform,CFT)。1D-CFT方法可以以低于Nyquist采样定理中的采样密度高精度的估计出信号的傅立叶变换;同时通过利用Bluestein’s FFT方法,使1D-CFT方法具有和FFT方法相似的计算复杂度。在得到同样计算精度的情况下,1D-CFT方法所需要的采样点数目比FFT方法小很多,而1D-CFT方法的计算复杂度与FFT方法相似,因此,1D-CFT方法的计算效率比FFT方法高很多。通过对数值算例计算结果的分析进一步验证和说明了1D-CFT方法的性能。 然后,本文研究了高维共形傅立叶变换算法。考虑到一维方法直接推广到二维(2D)和三维(3D)情况需要信号分布区间是矩形和长方体的问题,本文分别采用了三角单元和四面体单元剖分,并对区域边界是曲边和曲面的剖分单元进行曲边和曲面坐标变换。本文提出的分割方法可以很好的适应任意形状的二维和三维区域边界,因此分别被称为二维共形傅立叶变换(2D-CFT)和三维共形傅立叶变换(3D-CFT)。在每一个剖分单元上，共形傅立叶变换方法利用高阶的插值和数值积分方法来得到高精度的计算结果,利用非均匀快速傅立叶变换方法使其计算复杂度分别和同维数的FFT方法相似。通过对数值算例计算结果的分析进一步验证和说明了2D-CFT和3D-CFT方法的性能。 最后,本文利用前面提出的CFT方法,提出了一种电磁场中体积积分方程的新解法和快速逆多项式重建方法。其中所提出的电磁场中体积积分方程的新解法以稳定双共轭梯度-FFT(BCGS-FFT)方法的思想为基础,在得到同样精度的方程解情况下,需要更少的采样数据和更小的计算时间;以同样多的采样点和计算时间,可以得到更加精确的解。所提出的方法很容易推广到其它类似的物理方程的求解中。快速逆多项式重建方法是在广义逆多项式重建方法的基础上利用1D-CFT和Bluestein’s FFT进行改进得到的。与广义逆多项式重建方法相比,快速逆多项式重建方法在保持其最大的优点鲁棒性的同时,在得到同样精度的情况下,具有更快的计算速度并需要更少的内存空间。