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本文一方面，根据Bakry-Qian处理热方程的方法，推导出了固定度量的黎曼流形上薛定谔方程正解的梯度估计，这个梯度估计不同于Li-Yau的局部估计，是一种整体梯度估计，并且推广了Bakry-Qian关于热方程的结果．然后，给出了Harnack不等式.作为其应用，得出了薛定谔方程基本解的估计及关于薛定谔算子的刘维尔定理.另一方面，考虑度量随Ricci流演化的黎曼流形上薛定谔方程正解的梯度估计，同样给出了此情形下的Hamack不等式.