谱方法是微分方程数值求解的重要方法之一.Fourier谱方法的思想源于19世纪.但各类谱方法真正成为一门理论体系完整的计算数学分支则是近三十多年的事.谱方法的最大优点在于它的高精度,即只要方程的真解越光滑,其数值解也就越精确.正因为如此,谱方法已经成功地应用到科学,技术,经济中的许多问题的数值计算.例如热传导,流体动力学,量子力学,金融数学等领域的数值模拟.本文主要研究无界区域问题的一类新的广义Laguerre谱方法和三维空间中的球面调和-广义Laguerre多项式(函数)混合谱方法及其应用.在第二章中,我们提出了一类新的广义Laguerre多项式正交逼近,其特点是适用于更多问题并能更好地拟合微分方程真解在无穷远处的性态,从而提高了计算精度.然后,我们发展了球面调和-广义Laguerre多项式混合谱方法,并成功地应用于全空间问题,球外问题以及非线性问题.数值计算证明了新算法的优越性.第三章中,我们提出了一类新的广义Laguerre函数正交逼近,其特点是数值解保持原问题的权函数,从而更好地模拟原问题的解的整体性质,同时也简化了实际计算与理论分析.我们进行了大量的计算实验包括并行计算.计算结果表明了本文提出的多种新方法具有谱精度,并且计算相当稳定.