非线性因素广泛存在于动力系统中。工程中常见的非线性来源包括本构非线性、几何非线性、力非线性等诸多方面。与线性系统相比,非线性系统具有复杂的动力学行为,如跳跃现象、超/亚谐共振、分岔、混沌等。在工程实践中存在大量需要长期稳定工作的机械和结构,为保障这类系统的正常运行,有必要求得它们的稳态周期解并进行稳定性分析。以增量谐波平衡法为代表的半解析方法可求解强非线性系统,数学概念清晰,精度良好,得到了广泛应用。但到目前为止,各类半解析方法尚存在以下不足之处。首先,传统半解析法公式推导繁琐且与待求解问题高度耦合,因而缺乏通用性,难以应用于复杂系统;其次,计算速度较慢,对于高维问题无法在合理的时间内完成计算。再次,某些复杂多体动力学问题的常微分方程难以获取,但可以得到其微分代数动力学方程,而传统半解析法无法求解微分代数方程,因此其分析对象存在一定局限性。本文提出一种基于张量缩并和快速傅里叶变换的改进增量谐波平衡法,用于通用高效地求得非线性常微分方程系统的稳态周期解,并进一步将此方法的应用范围拓展到多刚体系统微分代数方程,用于计算稳态周期解和稳定性分析。主要研究内容及结论如下:首先,针对离散傅里叶变换用于谐波平衡的理论问题,证明了在离散傅里叶变换无频谱混叠的前提下,离散傅里叶变换与伽辽金平均严格等效,从理论上证明了时频域转换方法及基于离散傅里叶变换的改进增量谐波平衡法的正确性。以此为基础给出了多项式非线性系统的最低无失真采样序列长度,并讨论了非多项式型非线性系统的采样序列长度选取方法。最小采样序列长度对时频转换法和各类基于快速傅里叶变换的改进谐波平衡法均成立。使用数值算例对理论结果进行了验证,并对比了文献中已有算法的计算效能。仿真结果表明谐波平衡作为解析过程可由数值过程等效替代,可以大幅提高计算效率。研究结论为设计高效通用的增量谐波平衡法奠定了理论基础。然后,提出了改进伽辽金平均-增量谐波平衡法用于计算非线性常微分方程的稳态周期解。改进增量谐波平衡法使用改进伽辽金平均过程进行谐波平衡;生成雅可比矩阵时,参与伽辽金积分的变量被分离为时间相关和无关两部分;其中时间相关部分为三角函数基向量,与方程无关可提前积分,结果为三阶张量;时间无关部分即与方程相关的中间变量对应的傅里叶级数系数向量,需在迭代中更新。因此,谐波平衡过程简化为张量和向量缩并,最终由稀疏矩阵算法完成。改进增量谐波平衡法使用基于独立采样的快速傅里叶变换计算中间变量和残差向量的傅里叶级数系数向量。由于以长度统一的时序向量运算代替了解析运算,实现了谐波平衡过程与具体待求解方程的解耦,可无需重复推导即可求得常微分方程的周期解。算例表明,与文献已有半解析法相比,改进伽辽金平均-增量谐波平衡法在保证计算精度的同时大幅提高了通用性和计算效率,能够作为非线性常微分方程动力系统通用求解分析器使用。进一步将改进伽辽金平均-增量谐波平衡法的应用范围拓展到多刚体系统微分代数方程。此时,广义坐标和拉格朗日乘子均展开为截断傅里叶级数,通过改进伽辽金平均过程进行谐波平衡,将待求解微分代数方程转化为非线性代数方程,最后使用牛顿迭代法进行求解。为生成参数-响应曲线,本文还引入了基于数值缩放的改进弧长连续法,实现了通用微分代数方程求解器程序框架。算例表明,改进伽辽金平均-增量谐波平衡法可充分利用多体动力学方法对复杂系统建模的通用性和简便性,求得多刚体动力系统的全局稳态周期解,且计算效能良好。本文还提出微分代数方程周期解稳定性分析方法。通过对广义坐标和拉格朗日乘子同时进行摄动,可以得到线性化的微分代数方程;选择独立广义坐标进行线性变换,在一个周期内的每一个时间步将线性微分代数方程转换为等效的线性常微分方程,最后使用精确Hsu方法生成转移矩阵,通过其特征值判断周期解的稳定性和分岔。算例表明,本文提出的稳定性分析方法可以正确的用于高维强非线性系统。