群的上同调理论始于20世纪20年代,在20世纪40年代后期取得了比较全面的发展,至今仍然是群理论中一个活跃的研究分支.群的上同调是研究群的重要数学工具之一,它是群论的重要组成部分,而计算上同调群则是上同调理论的重要研究内容.根据同调理论,群的上同调群是由Bar-分解的上闭链和上边缘决定的,但是一般群的Bar-分解的上闭链和上边缘计算难度较大,从而使得上同调群的计算也很困难.对于群G,关于G上的线性Gr-范畴,我们指的是一个张量范畴Vec岂由有限维向量空间组成,具有通常的张量积,并具有由G上的3-上闭链Lω给出的结合子.Grothendieck的一个学生Hoang Xuan Sinh在她的博士论文中第一次给出了VecG上的:monoidal结构(G-分次空间的范畴)与群G的3-上同调群相关.Gr-范畴是fusion范畴的一个最典型的例子,特别地,任何有点fusion范畴都同构于VecGω,从而可以进一步刻画半单有点的fusion范畴.参考文献[9],[10].张量范畴VeGω的结构,在范畴等价的条件下,主要是由群的3-上同调群决定的,而辫子张量范畴的刻画则需要通过群的3-上闭链来实现,关于群的上同调和上闭链的研究已有的结论主要有:文献[1],[2]给出了循环群上3-上同调群的结构;文献[3]中,Bulacu,D.,Caenepeel,S.,Torrecillas,B.等人第一次研究了非循环群:Klein群的上同调问题,他们的方法是通过计算非常复杂的happy 3-上闭链,从而计算出Klein群上同调,但是这一方法似乎不适用于更一般的群;黄华林、刘公祥和叶郁在文献[4]中给出了两个任意有限循环群直积的3-上闭链和3-上同调群,他们的计算思路是借助于群上的自由分解(极小分解),先计算出自由分解的上闭链、上边缘和上同调,然后给出从Bar-分解到自由分解的链映射,从而通过自由分解的上同调结构给出了群上的3-上闭链和3-上同调群的结构.本文主要是推广交换群上3-上闭链和3-上同调的结构到非交换群上,我们研究非交换群Dicyclic-群(记做Q4n)上的自由分解和它的同调结构:3-上闭链、3-上边缘和3-上同调群.具体分以下三个方面:首先,构造了Q4n上的一个自由分解,并给出自由分解正合列上的3-上闭链、3-上边缘和3-上同调;然后,建立从群的Bar-分解到我们构造的自由分解之间的一个链映射,从而得出Q4n的3-上同调群H3(Q4n,k*)是一个阶数为4n的循环群;最后,我们找到了一个从群的自由分解到Bar-分解的链映射,给出了二面体群D2n和Q4n的3-上闭链之间的对应关系.