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本文主要利用Lp-Brunn-Minkowski理论的基本概念、基本知识和积分变换方法,研究Lp-空间中凸体几何领域诸多几何体,以及它们的度量不等式和极值问题,尤其是在Busemann-Petty型问题的应用.本文隶属于Lp-Brunn-Minkowski理论领域,该领域是近十年在国际上发展非常迅速的一个几何分支.本文的研究工作主要分为以下几个方面: (1)根据Lutwak引进的凸体i次宽度积分的概念,引入了凸体的混合宽度积分的概念,研究了其性质,并建立了有关凸体的混合宽度积分的循环不等式和Brunn-Minkowski不等式. (2)引入了星体的p-混合弦长积分的概念,研究了相关性质,并建立了有关星体的p-混合弦长积分的循环不等式和Brunn-Minkowski不等式. (3)定义了新几何体r_p,iK和Lp-混合调和Blaschke加K+pL的概念,建立了Lp-混合质心体rp,iK的均质积分和对偶均质积分的Brunn-Minkowski不等式,并研究了算子rp,i和F_p,i的单调性. (4)综合推广了凸体K的z-曲率函数f和Lp-曲率函数fp(K)的概念,引进中凸体K的Lp-混合曲率函数概念,并在此基础上研究了r_p,iKr_p,iL是否必定蕴涵％(K)≤%(L)的类似Busemann-Petty问题,获得了一些相应的结果